6-16 РАЦИОНАЛЬНЫЕ В-СПЛАЙН ПОВЕРХНОСТИ

Так же как и для рациональных кривых, возможно существование рациональных форм квадратичных поверхностей, бикубических поверхностей Кунса и поверхностей Безье. Однако здесь будут рассмотрены только рациональные В-сплайн поверхности, как из-за нехватки места, так и в связи с тем, что такие поверхности являются обобщением всех этих форм.

Декартово произведение рациональной В-сплайн поверхности в четырехмерном пространстве однородных координат задается формулой

,        (6-85)

где  являются 4D однородными вершинами характеристического многогранника, a  и  являются нерациональными В-сплайн базисными функциями, приведенными ранее в уравнении (5-84).

Проецирование обратно в трехмерное пространство с помощью деления на однородную координату дает рациональную В-сплайн поверхность

,                        (6-86)

где  являются 3D-точками задающей полигональной сетки и  - базисными функциями от двух переменных рациональной В-сплайн поверхности

.                       (6-87)

Удобно положить  для всех .

Важно отметить здесь, что  не являются произведением  и  (см. уравнение 5-123). Тем не менее  имеют форму и аналитические свойства, похожие на функцию произведения . Следовательно, рациональные В-сплайн поверхности имеют аналитические и геометрические свойства, похожие на их нерациональные двойники. Конкретнее,

Сумма базисных функций рациональной поверхности для любых значений  равна

.             (6-88)

Каждая базисная функция рациональной поверхности положительна или равна нулю для всех значений параметров , т. е. .

Кроме случая  или , каждая базисная функция рациональной поверхности имеет ровно один максимум.

Максимальный порядок рациональной В-сплайн поверхности в каждом параметрическом направлении равен числу вершин характеристического многогранника в этом направлении.

Рациональная В-сплайн поверхность порядка  (степени ) гладкая во всех точках , .

Рациональная В-сплайн поверхность инвариантна относительно проективного преобразования; т.е. любое проективное преобразование может быть применено к поверхности путем его применения к задающей полигональной сетке. Отметим, что это условие является более строгим, чем для нерациональной В-сплайн поверхности.

Поверхность лежит внутри выпуклой оболочки задающей полигональной сетки, образуемой объединением всех выпуклых оболочек  соседних вершин полигональной сетки.

Свойство затухания изменений для рациональных В-сплайн поверхностей неизвестно.

Влияние одной вершины полигональной сетки ограничивается , интервалами в каждом параметрическом направлении.

При триангуляции задающая полигональная сетка образует плоскую аппроксимацию поверхности.

Если число вершин задающей полигональной сетки равно порядку в каждом параметрическом направлении и дублированных внутренних узловых величин нет, то рациональная В-сплайн поверхность является рациональной поверхностью Безье.

Из уравнений (6-86) и (6-87) ясно, что когда все , тогда . Таким образом, базисные функции рациональной В-сплайн поверхности и сами поверхности превращаются в их нерациональные эквиваленты. Следовательно, рациональные В-сплайн поверхности представляют соответственно обобщение нерациональных В-сплайн поверхностей и рациональных и нерациональных поверхностей Безье.

Снова, как и в случае рациональных В-сплайн кривых, алгоритмы для увеличения степени, разбиения (см. разд. 6-14) и интерполяции (см. разд. 6-13) нерациональных В-сплайн поверхностей можно применять просто путем их использования для 4D-вершин задающей полигональной сетки.

Незамкнутый однородный, периодический однородный и неоднородный узловой векторы могут быть использованы для генерации рациональных В-сплайн базисных функций и рациональных В-сплайн поверхностей. Типы узловых векторов могут смешиваться. Например, в параметрическом -направлении может использоваться незамкнутый однородный узловой вектор, а в -направлении - неоднородный узловой вектор. Сначала мы остановимся на незамкнутых однородных узловых векторах.

На рис. 6-53 представлены бикубическая  рациональная В-сплайн поверхность и ее задающая полигональная сетка для . Изображение на рис. 6-53с с  идентично нерациональной В-сплайн поверхности. Результаты варьирования значений однородной координаты можно заметить, сравнивая рис. 6-53с с рис. 6-53b и d. Эти результаты аналогичны полученным для рациональных В-сплайн кривых (см. разд. 5-13), но проявляются не в столь сильной степени. В данном случае уменьшение эффекта обусловлено тем, что  является функцией смешения от двух переменных.

На рис. 6-54а и b иллюстрируется результат, полученный при присвоении всем внутренним  значений 0 и 500, соответственно; т. е.  или 500. Все остальные . Характеристический многогранник изображен на рис. 6-53а. Установка всех внутренних  приводит к игнорированию внутренних вершин характеристического многогранника. Интерполируются только вершины граничных кривых. Напротив, присвоение всем внутренним  сводит к минимуму влияние граничных вершин. Заметим, что изменение  влияет на параметризацию поверхности. Это иллюстрируется скоплением параметрических линий около границ поверхности, когда внутренние  (см. рис. 6-54а), и во внутренней части поверхности, когда внутренние  (см. рис. 6-54b).

Рис. 6-53 Рациональные В-сплайн поверхности с , , . (a) Характеристический многогранник; (b) ; (с) ; (d) .

Рис. 6-54 Рациональные В-сплайн поверхности с , , . (а) Все внутренние ; (b) все внутренние .

Рис. 6-55 Рациональный В-сплайн эллиптический цилиндр, сгенерированный заметанием рациональной эллиптической кривой на рис. 5-67b.

Результаты, возникающие при совпадении нескольких вершин или линий сетки аналогичны результатам, полученным для нерациональных В-сплайн поверхностей (см. разд. 6-12) и рациональных В-сплайн кривых (см. разд. 5-13). Также аналогичны результаты смещения одной вершины на поверхности.

Одним из самых привлекательных свойств рациональных В-сплайн поверхностей является их способность представлять квадратичные поверхности и плавно переходить в скульптурные поверхности высоких степеней. В качестве простого примера квадратичной поверхности рассмотрим обобщенный цилиндр, образуемый заметанием кривой. Ясно, что в направлении заметания такая поверхность должна быть второго порядка, т. е. прямой линией. Следовательно, для заметаемой в направлении и поверхности формула выглядит (см. [6-33]) следующим образом:

,                   (6-89)

где  имеет в параметрическом направлении  тот же порядок, что и кривая, и порядок 2 в направлении . Кроме того, вершины характеристического многогранника в направлении  равны  и , где  задает направление и расстояние заметания. Параметр  изменяется в диапазоне . Элементы  являются вершинами задающего многоугольника для заметающей кривой. Однородные координаты остаются неизменными в направлении заметания; т.е. , где  - это однородная координата для заметаемой кривой. На рис. 6-55 изображен эллиптический цилиндр, образованный с использованием эллиптической кривой, представленной на рис. 5-67b. С каждой стороны поверхности показана отодвинутая заметаемая кривая.

Рациональные В-сплайн поверхности используются также для создания линейчатых поверхностей. Эллиптический цилиндр, изображенный на рис. 6-55, является, конечно, линейчатой поверхностью. Для генерации с помощью рациональных В-сплайнов линейчатой поверхности более общего вида требуется, чтобы обе кривые имели одинаковый порядок (степень), одинаковый узловой вектор и одинаковое число вершин задающего многоугольника.

Рис. 6-56 Рациональная В-сплайн линейчатая поверхность.

Если кривые имеют разный порядок (степень), то степень кривой меньшего порядка увеличивают (см. разд. 5-8 и пример 6-18). Требуемый узловой вектор является объединением узловых векторов двух кривых. Любые кратные узловые значения для любой кривой включаются в окончательный узловой вектор. Для обеспечения идентичности обоих узловых векторов используется вставка узлов (см. разд. 5-12). Увеличение степени и вставка узлов обеспечивают равенство числа вершин характеристического многоугольника для обеих кривых. Получающаяся рациональная В-сплайн линейчатая поверхность описывается уравнением (6-89) с

 и .

На рис. 6-56 показан пример линейчатой поверхности, переводящей четверть окружности в рациональную В-сплайн кривую четвертого порядка. Кривые и их характеристические многоугольники изображены отодвинутыми от края поверхности. Данный метод лучше проиллюстрировать на примере.

Пример 6-18 Рациональные В-сплайн линейчатые поверхности Найти точку с параметрами  на линейчатой поверхности, образованной смещением  дуги окружности и рациональной кривой четвертого порядка. Дуга окружности представляется рациональной В-сплайн кривой, заданной , ,  и . Вторая кривая определяется , , ,  с . Сначала необходимо увеличить степень дуги окружности. В действительности дуга является рациональной кривой Безье. Обсуждавшийся в разд. 5-8 метод увеличения степени в рациональном случае применяется к 4D однородным координатам. В результате получаем: ,                                  После проецирования обратно в трехмерное пространство имеем: ,            , . Использование данных результатов для увеличения степени  дуги приведет к , , , , , , , . Теперь каждая кривая имеет четыре вершины характеристического многоугольника. Узловой вектор для каждой кривой равен . Следовательно, включение узлов применять не нужно. Для  из уравнения (5-84) получим ;                 ; ;             ;                        ;                        . Тогда уравнение (6-87) приведет к следующим результатам:                                                                                  . Координаты точки на поверхности . Вся поверхность изображена на рис. 6-56.

С помощью В-сплайнов могут быть также представлены поверхности вращения. Предположим, что

с узловым вектором  является рациональной В-сплайн кривой, и вспомним, что полная окружность получается при объединении четырех четвертей окружности, заданных девятью вершинами многоугольника (см. разд. 5-13). Это приводит нас к рациональной В-сплайн поверхности вращения, задаваемой (см. [6-33])

,                   (6-90)

где узловой вектор . Предположим, что вращение происходит вокруг оси , кривая  определена в плоскости , элементы  задаются как  для фиксированного  с . Вершины характеристического многоугольника образуют угловые и средние точки квадрата, лежащего в плоскости, перпендикулярной оси , и с размером стороны, равным удвоенному радиусу окружности вращения. Однородные весовые множители являются произведением множителей, необходимых для задания рациональной В-сплайн кривой и для задания окружности вращения. Конкретнее, для фиксированного , , , , , …, . На рис. 6-57 показаны характеристический многоугольник и сама кривая для окружности вращения и для вращаемой рациональной В-сплайн кривой. Также на рисунке приведены объединенный характеристический многогранник поверхности и сама поверхность.

На рис. 6-58 и 6-59 представлены обычные поверхности вращения - тор и сфера, вместе со своими характеристическими многогранниками. Тор генерируется путем вращения смещенной окружности вокруг одной из осей. Сфера генерируется путем вращения полуокружности, составленной из двух  дуг вокруг оси, проходящей через диаметр полуокружности.

Как было ранее упомянуто, одной из наиболее мощных характеристик рациональных в отличие от нерациональных В-сплайн поверхностей является их способность «упрятывать» (или включать) квадратичные элементы поверхности внутри обобщенной скульптурной поверхности. Например, как часть более общей поверхности, может быть включен цилиндрической элемент. На рис. 6-60 представлено три примера. Центральной частью каждой поверхности четвертого порядка является секция кругового цилиндра. Рис. 6-60а мог бы изображать переднюю кромку крыла или лопасти турбины, рис. 6-60b - цилиндрический нос корабля. Обе поверхности генерируются с помощью задания дуги окружности третьего порядка (см. разд. 5-13), увеличения степени дуги (см. пример 6-18), создания из дуги линейчатой поверхности и ее включения между двумя крайними элементами поверхностей четвертого порядка.

Рис. 6-57 Рациональная В-сплайн поверхность вращения. (a) Образующая кривая и задающая сетка; (b) окружность вращения; (с) характеристический многогранник; (d) поверхность вращения.

Рис. 6-58 Top, сгенерированный как рациональная В-сплайн поверхность. (a) Смещенная окружность и задающий многоугольник; (b) окружность вращения и задающий многоугольник; (с) характеристический многогранник для тора; (d) тор.

Случайно обе поверхности, показанные на рис. 6-60а и b, оказались линейчатыми развертывающимися поверхностями. На рис. 6-60с изображен цилиндрический элемент, упрятанный в более общую поверхность.

Производные рациональной В-сплайн поверхности получаются с помощью формального дифференцирования уравнения (6-86):

,            (6-9la)

,                       (6-91b)

,             (6-9lc)

,            (6-91d)

,                   (6-91e)

где  и  являются числителем и знаменателем, соответственно, уравнения (6-86) с производными

,

,

,.

,

,

,

,

,

,

.

Рис. 6-59 Сфера, сгенерированная как рациональная В-сплайн поверхность. (a) Смещенная окружность и задающий многоугольник; (b) окружность вращения и задающий многоугольник; (с) характеристический многогранник и сфера.

Рис. 6-60 Элемент квадратичной поверхности внутри более общей рациональной В-сплайн поверхности. Передняя кромка крыла. (а) Характеристический многогранник; (b) поверхность. Корма корабля. (с) Характеристический многогранник; (d) поверхность. Цилиндр как часть более общей поверхности. (е) Характеристический многогранник; (f) поверхность.

Штрих обозначает производную относительно соответствующего параметра. Функции , , ,  задаются уравнениями (5-97)-(5-100).

Эти производные полезны при определении гауссовой кривизны поверхности (см. разд. 6-15), а также других свойств поверхности.