2-8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Результатом преобразования с помощью -матрицы пары пересекающихся прямых линий также будет пара пересекающихся линий. Проиллюстрируем этот факт на примере двух прямых, изображенных на рис. 2-3 штриховой линией и заданных уравнениями

,

.

Рис. 2-3 Преобразование пересекающихся прямых.

В матричном представлении эти уравнения будут иметь вид:

или

.           (2-19)

Если существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном случае они параллельны. Решение можно найти путем инверсии матрицы. В частности,

. (2-20)

Матрица, обратная , имеет следующий вид:

,                     (2-21)

так как , где  - единичная матрица. Поэтому координаты точки пересечения двух линий можно найти следующим образом:

,

,            (2-22)

Если обе линии преобразовать с помощью -матрицы общего преобразования вида

,

то их уравнения будут иметь вид

,

.

Соответственно можно показать, что

  (2-23)

и

, где .   (2-24)

Точка пересечения линий после преобразования отыскивается таким же образом, как и в случае исходных линий:

.

Воспользовавшись выражениями (2-23) и (2-24), получим

.    (2-25)

Возвращаясь теперь к точке пересечения  исходных линий и применяя уже полученную матрицу преобразования, имеем

.    (2-26)

Сравнение уравнений (2-25) и (2-26) показывает, что они одинаковы. Итак, точка пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.

Пример 2-2 Пересекающиеся прямые Рассмотрим две штриховые линии  и  на рис. 2-3, конечные точки которых имеют координаты , и , . Уравнение прямой  имеет вид , а прямая  задается уравнением . В матричном виде пучок прямых представляется в виде . Используя матрицу обратного преобразования (2-21), получим точку пересечения этих прямых . Теперь преобразуем эти линии с помощью матрицы . Результирующие прямые  и  показаны на рис. 2-3. В матричном виде уравнения преобразованных линий имеют вид с точкой пересечения . Преобразуя точку пересечения исходных линий, получим , что тождественно точке пересечения преобразованных линий.

Из рис. 2-3 и примера 2-2 видно, что исходные штриховые прямые  и  не перпендикулярны друг другу. Однако преобразованные прямые  и , показанные сплошной линией, являются перпендикулярными. Таким образом, преобразование  переводит две пересекающиеся неперпендикулярные прямые в две пересекающиеся перпендикулярные. Смысл обратного преобразования  состоит в переводе двух пересекающихся перпендикулярных прямых в две пересекающиеся, но не перпендикулярные, что может привести к неприятным геометрическим последствиям. Значительный интерес представляет вопрос, при каком условии перпендикулярные прямые преобразуются в перпендикулярные. Мы вернемся к этому вопросу в разд. 2-14, где разберем его подробнее.

Дополнительное изучение рис. 2-3 и примера 2-2 показывает, что преобразование  включает в себя поворот, отражение и масштабирование. Рассмотрим каждое из этих преобразований отдельно.