2-10 ОТРАЖЕНИЕ

В то время как полный поворот на плоскости  обычно осуществляется в двумерном пространстве относительно нормали к плоскости, отражение представляет собой тот же поворот на угол  в трехмерном пространстве и обратно на плоскость относительно оси, лежащей в плоскости . На рис. 2-6 приведены примеры двух отражений на плоскости треугольника . Отражение относительно прямой  (ось ) получено с использованием матрицы

.           (2-33)

В этом случае новые вершины треугольника  будут определяться преобразованием

.

Подобным образом отражение относительно оси  при  будет иметь вид

.           (2-34)

Рис. 2-6 Отражение.

Отражение относительно прямой  осуществляется с помощью матрицы

. (2-35)

Выполнив преобразования, получим координаты вершин треугольника

.

Аналогичным образом отражение относительно оси  будет иметь вид

.         (2-36)

У каждой из этих матриц определитель равен -1. В общем случае, если определитель матрицы преобразования равен -1, то преобразование дает полное отражение.

Если оба полных отражения осуществляются последовательно относительно прямых, проходящих через начало координат, то результатом будет полный поворот относительно начала координат. Это можно увидеть, обратившись к следующему примеру.

Рис. 2-7 Выполнение отражения путем поворота.

Пример 2-3 Отражение и вращение Рассмотрим треугольник , показанный на рис. 2-7. Первоначально отобразим его относительно оси  (уравнение 2-33), а затем относительно прямой  (см. выражение (2-36)). Результатом первого отображения будет . Результатом второго будет . Повернем треугольник относительно начала координат на угол  (см. (2-29)) и получим аналогичный результат . Отметим, что матрицы отражения из (2-33) и (2-36) ортогональны, т.е. транспонированная матрица одновременно является обратной. Например, .