3-8 ПОВОРОТЫ ВОКРУГ ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КООРДИНАТНОЙ ОСИ

Преобразования, заданные равенствами (3-6)-(3-8), описывают вращение вокруг координатных осей , и . Однако часто бывает необходимо вращать объект вокруг оси, не совпадающей с этими тремя. Мы рассмотрим частный случай для оси, параллельной одной из координатных осей , или . На рис. 3-5 изображено тело в локальной системе осей параллельных фиксированной глобальной системе . Вращение тела вокруг любой из локальных осей , или выполняется с помощью следующей процедуры:

- переместить тело так, чтобы локальная ось совпала с координатной;

- повернуть вокруг указанной оси;

- переместить преобразованное тело в исходное положение.

Математически это можно записать так:

где

- преобразованное тело,

- исходное тело,

- матрица перемещения,

- соответствующая матрица поворота,

- матрица, обратная к матрице перемещения.

Ниже приводится иллюстративный пример.

Рис. 3-5 Поворот вокруг оси, параллельной одной из координатных осей.

Пример 3-8 Единственное относительное вращение

Рассмотрим параллелепипед, изображенный на рис. 3-5а, заданный координатными векторами

относительно глобальной системы координат . Повернем параллелепипед на ?относительно локальной оси , проходящей через центр параллелепипеда. Предполагается, что начало локальной системы координат находится в центре параллелепипеда. Координаты этого центра равны . Вращение осуществляется следующим образом:

где

Первая матрица сдвигает параллелепипед параллельно плоскости до тех пор, пока ось не совпадет с осью . Вторая матрица выполняет требуемое вращение вокруг оси , третья матрица переносит ось , а следовательно, и повернутый параллелепипед, обратно в исходное положение.

Объединив эти три матрицы, получим

После подстановки числовых значений преобразованные координаты примут вид:

Результат изображен на рис. 3-5b.

В предыдущем примере требовалось только вращение вокруг единственной оси, параллельной одной из координатных осей. Таким образом, надо только было сделать так, чтобы ось вращения совпала с соответствующей координатной осью. Для того чтобы совершить несколько поворотов в локальной системе осей, параллельных осям глобальной системы координат, надо совместить начала локальной и глобальной систем. Конкретнее, повороты могут быть выполнены с помощью следующей процедуры:

- переместить локальную систему осей так, чтобы начала локальной и глобальной систем совпали;

- выполнить требуемые повороты;

- переместить локальную систему осей обратно в исходное положение. Ниже эта процедура иллюстрируется на примере.

Пример 3-9 Несколько относительных вращений

Рассмотрим снова параллелепипед, изображенный на рис. 3-5а. Пусть его требуется повернуть сначала на угол вокруг оси , а затем на угол вокруг оси . Для этого надо совместить начала систем координат и , выполнить необходимые повороты, а результат вернуть обратно в исходное положение.

Объединенное преобразование имеет вид:

Конкретнее,

где и обозначают углы поворотов вокруг осей и , соответственно. Объединив эти матрицы, получим

. (3-17)

Тогда преобразованные координатные векторы равны

Результат изображен на рис. 3-6.