3-13 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Одна ортографическая проекция не может дать представления об общей трехмерной форме объекта. Это ограничение можно преодолеть с помощью аксонометрических проекций. Аксонометрическая проекция образуется манипулированием объекта с помощью поворотов и перемещений таким образом, что бы были видны по крайней мере три соседние грани. Результат затем проецируется с центром проекции, расположенным в бесконечности, на одну из координатных плоскостей, обычно на плоскость . Если грань не параллельна плоскости проекции, то аксонометрическая проекция не показывает истинную форму этой грани. Однако остаются постоянными относительные длины параллельных в исходном пространстве линий, т. е. параллельные линии одинаково укорачиваются (искажаются). Коэффициент искажения есть отношение длины проекции отрезка к его истинной длине. Представляют интерес три аксонометрические проекции: триметрическая, диметрическая и изометрическая, как это показано на рис. 3-10. В триметрической проекции меньше всего ограничений, а в изометрической - больше всего. В самом деле, как будет показано ниже, изометрическая проекция есть частный случай диметрической, а диметрическая проекция есть частный случай три метрической.

Триметрическая проекция строится произвольными поворотами вокруг любых координатных осей, совершаемыми в произвольном порядке, с последующим проецированием на плоскость . Большинство иллюстраций в этой книге представлены триметрическими проекциями. На рис. 3-16 изображено несколько таких проекций. Каждая из них построена с помощью поворота вокруг оси , затем вокруг оси и, наконец, параллельного проецирования на плоскость .

В общем случае для триметрической проекции коэффициенты искажения по каждой из проецируемых главных осей (, и ) не равны друг другу. Здесь термин главная ось используется в том смысле, что ось (или ребро) объекта в исходном пространстве параллельна одной из координатных осей , или . Наложение ограничений на коэффициенты уменьшает диапазон триметрических проекций. Однако для любой конкретной триметрической проекции коэффициенты искажения вычисляют с помощью применения общей матрицы преобразования к единичным векторам вдоль главных осей. В частности,

, (3-30)

Рис. 3-16 Триметрические проекции.

где есть матрица единичных векторов вдоль нетрансформированных осей , и соответственно, а - общая матрица триметрической проекции. Тогда коэффициенты искажения вдоль спроецированных главных осей равны

, (3-31а)

, (3-31b)

. (3-31с)

В примере 3-13 триметрическая проекция рассмотрена более подробно.

Пример 3-13 Триметрическая проекция

Рассмотрим центральную иллюстрацию рис. 3-16, построенную с помощью поворота на угол вокруг оси , затем поворота на угол вокруг оси и последующего параллельного проецирования на плоскость . Координатный вектор куба с отсеченным углом

Общая матрица триметрической проекции равна (см. (3-8), (3-6) и (3-27)):

Таким образом, преобразованные координатные векторы имеют вид:

а коэффициенты искажения -

Диметрическая проекция - это триметрическая проекция с двумя одинаковыми коэффициентами искажения, третий коэффициент может иметь любое значение. Диметрическая проекция строится с помощью поворота на угол вокруг оси , затем поворота на угол вокруг оси и проецирования на плоскость с центром проекции, расположенным в бесконечности. Точные значения углов поворотов еще не известны. Воспользовавшись (3-8), (3-6) и (3-27), получим результирующее преобразование:

Объединение матриц дает

. (3-32)

Единичные векторы на главных осях , и преобразуются в

. (3-33)

Теперь квадрат длины подвергнутого преобразованию единичного вектора вдоль оси , т. е. квадрат коэффициента искажения, равен

. (3-34)

Аналогично квадраты коэффициентов искажения по осям и равны

, (3-35)

. (3-36)

Приравнивание коэффициентов искажения по осям и дает одно уравнение с двумя неизвестными углами поворота и . А именно

Используя равенства и , получаем

. (3-37)

Второе соотношение между и получим, фиксируя коэффициент искажения вдоль оси . Объединив уравнения (3-36) и (3-37) и воспользовавшись равенством , получаем

или

. (3-38)

Положив , получим решения . Решение отбросим, так как при подстановке его в (3-37) оно дает бесконечный результат. Следовательно,

. (3-39)

Подстановка в равенство (3-37) приводит к

. (3-40)

Это показывает, что диапазон коэффициентов искажения равен . Заметим далее, что каждый коэффициент искажения порождает четыре возможных диметрических проекции.

На рис. 3-17 показаны диметрические проекции для разных коэффициентов искажения. Для каждого коэффициента была выбрана диметрическая проекция, соответствующая положительному вращению вокруг оси и положительному вращению вокруг .

На рис. 3-18 показаны четыре возможных диметрических проекции для коэффициента искажения 5/8.

Рассмотрим конкретный пример.

Рис. 3-17 Диметрические проекции для разных значений коэффициента искажения, (а) 0; (b) 1/4; (с) 3/8; (d) 1/2; (е) 5/8; (f) 3/4; (g) 1.

Рис. 3-18 Четыре возможных диметрических проекции для коэффициента искажения 5/8 и углов поворотов , . (а) , ; (b) , ; (с) , ; (d) , .

Пример 3-14 Диметрические проекции

Для куба с отсеченным углом построим диметрическую проекцию для коэффициента искажения по оси , равного 1/2.

Из равенства (3-39)

Из равенства (3-40)

Выбрав и , из (3-32) получаем следующую матрицу диметрической проекции:

Вспоминая координатный вектор для куба с отсеченным углом (см. пример 3-13), получим координаты

Результат изображен на рис. 3-17d.

Диметрическая проекция позволяет проводить измерения с одинаковым масштабным множителем по двум преобразованным главным осям. Измерение вдоль третьей оси требует другого масштабного множителя. Это может привести к путанице и ошибкам, если требуется точное масштабирование размеров спроецированного объекта. Изометрическая проекция решает эту проблему.

В изометрической проекции все три коэффициента искажения равны. Вспомним уравнения (3-34)-(3-36) и приравнивая (3-34) и (3-35), снова получим равенство (3-37), т.е.

. (3-37)

Приравнивание равенств (3-35) и (3-36) дает

. (3-41)

Из (3-37) и (3-41) следует, что или и . Тогда

и . Снова отметим, что существуют четыре возможных изометрических проекции. Это показано на рис. 3-19. Коэффициент искажения для изометрической проекции равен (см. (3-35))

В самом деле, изометрическая проекция есть частный случай диметрической с .

Рис. 3-19 Четыре возможных изометрических проекции с углами поворотов , . (а) , ; (b) , ; (с) , ; (d) , .

При построении изометрических проекций вручную важен угол, который составляет проекция оси с горизонталью. Преобразование единичного вектора вдоль оси с помощью матрицы изометрической проекции дает

Тогда угол между проекцией оси и горизонталью равен

, (3-42)

поскольку для . Следовательно,

Для построения изометрических проекций вручную обычно используется пластмассовый прямоугольный треугольник с углами и . Ниже приводится пример.

Пример 3-15 Изометрическая проекция

Снова рассмотрим куб с отсеченным углом (см. пример 3-13) и построим изометрическую проекцию для и . Из равенства (3-32) получаем, что преобразование изометрического проецирования имеет вид:

Вспоминая координаты , получим

Результат изображен на рис. 3-19а.