4-10 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Все конические сечения из предыдущих разделов являются частными случаями кривых, задаваемых общим уравнением второго порядка

, (4-31)

где , , , , ,  - константы. Коническое сечение - это любая плоская кривая, удовлетворяющая уравнению (4-31). Уравнение интересно не только само по себе, но и для последующего обсуждения рациональных конических сечений и квадратичных поверхностей. Для простоты и полноты будем пользоваться методами линейной алгебры.

Конические сечения являются центральными - эллипс и гипербола (окружность это частный случай эллипса) или нецентральными - парабола. Кроме того, существует ряд вырожденных форм, которые все центральны. Необходимо определить для заданных значений констант, какое сечение задает уравнение (4- 31) - центральное или нецентральное. Также нужно выделить все вырожденные случаи.

Заметим, что уравнение (4-31) можно записать в матричной форме

или

.                  (4-32)

Отметим также, что  симметрична относительно главной диагонали.

Сначала приведем сечение к стандартному виду. Для центрального сечения (эллипс или гипербола) это значит, что центр находится в начале координат, а оси располагаются вдоль осей координат. Для нецентрального сечения (парабола) ось симметрии параболы совпадает с положительной осью , вершина находится в начале координат, и парабола раскрывается направо. Сечение приводится к стандартному виду переносом и вращением.

Для центральных сечений линейные члены уравнений (4-31) или (4-32) уничтожаются переносом центра сечения в начало координат. После этого уравнение (4-32) принимает вид

,              (4-33)

где матрица переноса  такова:

.

После конкатенации матриц переноса и коэффициентов уравнение принимает вид

,      (4-34)

где

                      (4-35)

и

.

Заметим, что  также симметрична.

Следовательно, уравнение (4-31) преобразуется к

.

Коэффициенты переноса и  для уничтожения линейных членов вычисляются из условия . Отсюда

,

или в матричном виде

,               (4-36)

что можно записать как .

Если  инвертируема, существует решение для , и сечение центрально, т.е. это эллипс или гипербола. Если  не инвертируема, т.е. сингулярна, то решения для  не существует, и сечение не центрально (парабола). Детерминант сингулярной матрицы равен нулю:

               (4-37)

или

.

Итак, уравнение (4-31) представляет параболу при  и центральное сечение при . Если сечение центрально и , уравнение представляет эллипс, а если  - гиперболу.

Независимо от инвертируемости  оси сечения можно поворотом сделать параллельными осям координат. Вернемся к уравнению (4-32). Используем матрицу плоского поворота

,    (4-38)

где для угла поворота  она такая:

.

Конкатенация матриц дает

,                 (4-39)

где

и

,

,

,

,

,

.

Опять заметим, что  симметрична. Если оси сечения параллельны осям координат, член  в уравнении (4-31) отсутствует. Поэтому нулевой коэффициент дает угол поворота:

или

.

Решим это уравнение относительно угла поворота :

.             (4-40)

Для этого угла  принимает вид

.

Уравнение (4-37) позволяет узнать, центрально ли сечение. Центральное сечение можно привести к стандартному виду комбинацией переноса и поворота:

.             (4-41)

Конкатенация внутренних матриц дает

, (4-42)

где

,                  (4-43a)

,                  (4-43b)

,                  (4-43c)

,                      (4-43d)

,                       (4-43e)

                      (4-43f)

и

,                (4-43g)

,                (4-43h)

.               (4-43i)

Заметим, что это диагональная матрица, т.е. все недиагональные элементы равны нулю. Поворот устраняет член , а перенос - линейные члены .

Угол вращения задается уравнением (4-40). Как и раньше, коэффициенты переноса можно получить, приравняв  и  к нулю, т.е. . Имеем

,

.

Отсюда получаем решение

,                     (4-44a)

.                      (4-44b)

Вспомним, что для центрального конического сечения . Запишем уравнение (4-41), используя (4-42):

,                     (4-45)

что является стандартным видом конического сечения. Остается систематически исследовать результат для различных значений  и .

Если  больше нуля, то  и  положительны, и сечение - эллипс. Если они имеют разные знаки и ни один из них не равен нулю, то сечение - гипербола.

Если  и  отрицательны, решения не существует.

Оба  и  одновременно не могут быть равны нулю, так как в этом случае уравнение (4-45) не содержит членов второго порядка. Однако один из коэффициентов  или  может быть нулевым. Пусть  (если , замена  на  дает ), тогда уравнение (4-45) принимает вид

.

Решением являются две параллельные линии  при . Если , то решения нет.

Если , есть две возможности:  и  имеют одинаковые или разные знаки. В обоих случаях решение вырожденное. Если знаки  и  одинаковы, уравнению (4-45) удовлетворяет только начало координат . Можно считать, что это предельный случай эллипса.

Если знаки  и  различны, уравнение (4-45) принимает вид

или

,

т.е. это пара прямых, пересекающихся в начале координат, - предельный случай гиперболы.

Наконец, если  (если , замена  на  дает ), то решение - ось  для всех значений.

Для нецентрального сечения, параболы, оба линейных члена устранить нельзя, однако можно убрать один линейный и один квадратичный член для  или . Применим оператор переноса к уравнению (4-39) - квадратному уравнению после поворота:

,                    (4-46)

где

,                    (4-47а)

,                   (4-47b)

,      (4-47с)

,                   (4-47d)

.   (4-47е)

Угол поворота задан уравнением (4-40). Здесь либо , либо  обратится в нуль. Один из линейных членов для  или  устраняется, если  или  приравнять к нулю. Пусть , тогда

.                  (4-48а)

Если , то

.                    (4-48b)

Заметим, что при  значение  не определено, следовательно, устраняются только линейные члены относительно . Если , не определено  и устраняются только члены с .

Предположим, что уничтожены линейный - член  и квадратичный - член  (если , замена  и  дает ). Тогда  принимает вид

.

Запишем уравнение конического сечения

.                     (4-49)

Чтобы привести параболу к стандартной ориентации с вершиной  в центре координат, перенесем ее по оси  на

.

Все вырожденные формы сечений центральны, т.е. парабола - это единственное нецентральное сечение. Результаты собраны в табл. 4-8.

Пример 4-7 Сегмент гиперболы Найти тип конического сечения, заданного формулой , изображенного непрерывной линией на рис. 4-16. Нарисовать его сегмент для  для . Сегмент должен быть нарисован с помощью параметрического представления из предыдущих разделов. Для того чтобы определить значения параметрического представления, используются методы, рассмотренные в данном разделе.   Таблица 4-8 Конические сечения Название Уравнение Условия Тип Чертеж Эллипс Центральный Гипербола Центральный Парабола   Нецентральный Пустое множество (Центральный) (Чертеж отсутствует) Точка Центральный Пара прямых Центральный Параллельные прямые Центральный Пустое множество (Центральный) (Чертеж отсутствует) «Повторяющаяся» прямая   Центральный Сначала узнаем тип сечения , т.е. это гипербола. Приведем гиперболу к стандартному виду с помощью уравнений (4-40)-(4-44). Угол поворота . Подставим значения ,  и получим , . Коэффициенты переноса и  таковы. , Рис. 4-16 Гипербола . Сплошная линия - заданная ориентация. Пунктир - стандартная ориентация. Так как , константа равна . Уравнение гиперболы . В стандартной форме  имеем . В форме имеем , что дает , . Параметрическое представление параболы (4-16): , , где  - параметр. Для параметрического изображения гиперболы необходимо найти величину  для . Заметим, что преобразования к стандартному виду переносят оси координат, а не само сечение. Поэтому соответствующие преобразованные значения  получаются обратными преобразованиями. В результате . Преобразованные координаты , где также включена  координата. Тогда параметрические значения , . Пользуясь этими значениями для  и , получаем результат на рис. 4-16 и в табл. 4-9. Таблица 4-9 Сегмент гиперболы в стандартной ориентации 0.349 2.123 -0.503 0.438 2.195 -0.640 0.528 2.285 -0.781 0.617 2.393 -0.929 0.706 2.520 -1.084 0.796 2.668 -1.248 0.885 2.837 -1.422 0.975 3.028 -1.608 1.064 3.244 -1.806 1.153 3.486 -2.019 Затем эти результаты обратным преобразованием переводятся в исходное положение: . Результат приведен в табл. 4-10 и на рис. 4-16. Таблица 4-10 Сегмент гиперболы в исходной ориентации 0.349 3.000 2.871 0.438 3.140 2.805 0.528 3.297 2.746 0.617 3.472 2.693 0.706 3.667 2.645 0.796 3.883 2.602 0.885 4.123 2.564 0.975 4.387 2.531 1.064 4.679 2.502 1.153 5.000 2.476