5-8 КРИВЫЕ БЕЗЬЕ

До сих пор мы обсуждали, как провести кривую через заданное множество точек. Рассмотренные методы во многих случаях дают прекрасные результаты и особенно удобны при описании формы, основа которой получена с помощью экспериментов или математических расчетов. Это, например, крыло самолета, составные части мотора, механические и структурные детали. Существует, однако, и другой класс задач, когда решение зависит как от функциональных, так и от эстетических требований, например дизайн поверхности машины, фюзеляжа самолета, формы корабля, мебели или посуды. Кроме количественных критериев здесь требуется учет практического опыта, и часто необходимо интерактивное вмешательство разработчика.

Рассмотренные выше методы, в частности кубические сплайны, неудобны для интерактивной работы. Направление и величина касательных не дают необходимого интуитивного представления о кривой, так как неочевидна связь между набором чисел и формой соответствующей кривой.

Пьер Безье предложил другой метод создания кривых и поверхностей любой формы. Безье вывел математическую основу своего метода из геометрических соображений [5-11] - [5-13], но в работах [5-14] и [5-15] показано, что его результат эквивалентен базису Бернштейна или функции полиномиальной аппроксимации.

Рис. 5-25 Кривая Безье и определяющие ее точки.

Кривая Безье задается многоугольником, как показано на рис. 5-25. Так как базис Безье является бернштейновским, сразу же известны некоторые свойства кривых Безье. Например:

Функции базиса вещественны.

Степень многочлена, определяющего участок кривой, на единицу меньше количества точек соответствующего многоугольника.

Основа формы кривой повторяет очертания многоугольника.

Первая и последняя точки кривой совпадают с соответствующими точками определяющего многоугольника.

Векторы касательных в концах кривой по направлению совпадают с первой и последней сторонами многоугольника.

Кривая лежит внутри выпуклой оболочки многоугольника, т. е. внутри самого большого многоугольника, построенного по заданным точкам. На рис. 5-25 выпуклая оболочка обозначена штриховой и тонкой линиями.

Кривая обладает свойством уменьшения вариации. Это означает, что кривая пересекает любую прямую линию не чаще, чем определяющий многоугольник. Кривая инвариантна относительно аффинных преобразований.

На рис. 5-26 показано несколько четырехточечных многоугольников Безье и соответствующих кривых. На основе перечисленных выше свойств можно легко научиться предсказывать форму кривой по виду многоугольника.

Математическое параметрическое представление кривой Безье имеет вид

, , (5-62)

где базис Безье или Бернштейна, или функция аппроксимации

(5-63)

(5-64)

- это -я функция базиса Бернштейна порядка .

Рис. 5-26 Многоугольники Безье для кубических кривых.

Здесь - порядок определяющей функции базиса Бернштейна - и, следовательно, сегмента полиномиальной кривой, на единицу меньше количества точек определяющего многоугольника. Как показано на рис. 5-25, вершины многоугольника Безье нумеруются от 0 до . Поэтому и .

На рис. 5-27 изображены аппроксимирующие функции для разных значений . Заметим, что функции симметричны. Каждая функция имеет порядок , например все четыре функции на рис. 5-27b для кубические. Максимум каждой функции достигается при и равен (5-14)

. (5-65)

Рис. 5-27 Весовые функции Безье/Бернштейна. (a) Многоугольник из трех точек, ; (b) из четырех точек, ; (с) из пяти точек, ; (d) из шести точек, .

Например, для кубической кривой . Максимум и достигается в и , соответственно, и имеет значения

и .

Рисунок 5-27b иллюстрирует этот пример.

Рассмотрим уравнения (5-62) и (5-64) для первой точки на кривой, т.е. при

, ,

, .

Итак,

первая точка кривой совпадает с первой точкой многоугольника.

Аналогично, для последней точки кривой, т. е. при

, ,

, .

Итак,

и последняя точка на кривой Безье совпадает с последней точкой определяющего многоугольника.

Далее, можно показать, что для любого значения параметра сумма базисных функций равна 1, т.е.

. (5-66)

Рассмотрим метод построения Безье на примере.

Пример 5-7 Кривая Безье

Пусть заданы вершины многоугольника Безье , , и . Найти семь точек, лежащих на кривой Безье.

Рассмотрим уравнения (5-62) - (5-64):

где

В нашем случае , так как имеется четыре вершины. Отсюда

Итак,

Таблица 5-4 Коэффициенты для кривой Безье


0	1	0	0	0
0.15	0.614	0.325	0.058	0.003
0.35	0.275	0.444	0.239	0.042
0.5	0.125	0.375	0.375	0.125
0.65	0.042	0.239	0.444	0.275
0.85	0.003	0.058	0.325	0.614
1	0	0	0	1

Рис. 5-28 Сегмент кривой Безье, пример 5-7.

Значения для различных значений приведены в табл. 5-4.

Точки на кривой:

Эти точки показаны на определяющем многоугольнике на рис. 5-28.

Уравнение кривой Безье можно записать в матричном виде, так же как уравнения для кубических сплайнов и параболической интерполяции (см. уравнения 5-27 и 5-44):

. (5-67)

Здесь и .

Особенный интерес представляют матричные формы для малых значений . Для многоугольника из четырех точек кривая Безье имеет вид

Группируя коэффициенты, получим

. (5-68)

Аналогично, кривая Безье четвертого порядка , заданная многоугольником из пяти точек:

. (5-69)

В работе [5-19] приводится обобщенное представление:

где

. (5-70)

Матрица - это опять . Отдельные члены матрицы таковы:

Уравнение (5-70) можно записать в более удобном виде

, (5-71)

где

Уравнения (5-70) или (5-71) удобнее для расчета при больших значениях . Заметим, что для всех матрица симметрична относительно главной диагонали и правый нижний угол состоит из нулей.

Для каждой отдельной кривой Безье необязательно знать касательные векторы в ее концах, но если необходимо соблюдать непрерывность кривизны и наклона в точках соединения кривых, рассчитывать нормали к поверхности для освещения, вычислять локальную кривизну, то требуется знать как первую, так и вторую производную кривой Безье.

Из уравнения (5-62) первая производная кривой Безье имеет вид:

. (5-72)

Вторая производная такова:

. (5-73)

Формально дифференцируя уравнение (5-63), получаем производные базисных функций

. (5-74)

Аналогично, вторые производные имеют вид:

. (5-75)

В начале и конце кривой Безье, т.е. при и , численный расчет уравнений (5-74) и (5-75) представляет затруднения.

Другой способ вычисления -й производной при :

(5-76)

и при :

. (5-77)

Отсюда первые производные в концах будут

(5-78)

. (5-79)

Это показывает, что касательные к кривой Безье в первой и последней точках параллельны соответствующим сторонам многоугольника. Аналогично, вторые производные в концах таковы:

(5-80а)

. (5-80b)

Вторые производные в концах зависят от двух ближайших сторон, т. е. от трех ближайших вершин. В общем случае, -я производная в начальной и конечной точках зависит от этих точек и ближайших вершин многоугольника.

Подробнее рассмотрим это на примере.

Пример 5-8 Производные кривых Безье

Рассмотрим четырехточечный многоугольник Безье, например, как на рис. 5-26 и 5-28. Вспомним представление кривой

Отсюда первая производная

Вспомним пример 5-7 и непосредственно продифференцируем базисные функции

Подставим :

, , , .

Подстановка дает

Поэтому направление касательной в начале кривой совпадает с первой стороной многоугольника (см. рис. 5-28).

В конце кривой и

, , , .

Аналогично, подстановка дает

и направление касательного вектора в конце кривой совпадает с последней стороной многоугольника.

Чтобы вычислить производные вдоль кривой, воспользуемся функциями базиса и уравнениями (5-74) и (5-75):

Результаты легко вычисляются как для , так и для . Подставляя в уравнение (5-72), получаем первую производную в любой точке кривой. Например, при имеем

Результат для точек , , , из примера 5-7 изображен на рис. 5-29.

Рис. 5-29 Кривая Безье и ее производные: ; ; .

Аналогично, вторые производные имеют вид:

Уравнение (5-73) при дает

Иллюстрация также приведена на рис. 5-29. Заметим, что вектор из начала координат в любую точку на каждой из кривых представляет соответственно направление и величину радиуса-вектора и приблизительную кривизну в этой точке на кривой.

Условие непрерывности соседних кривых Безье формулируется очень просто. Пусть кривая Безье степени задана вершинами , а соседняя кривая Безье степени - вершинами . Тогда непрерывность первой производной в точке соединения выражается соотношением

где - скаляр.

Рис. 5-30 Непрерывность первой производной для кубических кривых Безье.

Пользуясь уравнениями (5-78) и (5-79), получим

Из непрерывности кривой следует, что и

Отсюда направления касательных на стыке совпадают, если три вершины , , коллинеарны, т.е. должна лежать на линии между и .

Если совпадают еще и величины касательных векторов, то является серединой отрезка от до :

или

На рис. 5-30 приведена иллюстрация для , т. е. для двух кубических кривых Безье.

Условие непрерывности вторых производных между соседними кривыми:

Из условий и непрерывности в точке соединения получаем положение третьей определяющей вершины второго многоугольника, выраженное через три последние вершины первого многоугольника, а именно

Это означает, что вершины , , , , должны либо составлять выпуклый многоугольник, либо лежать на одной прямой, чтобы сохранить непрерывность на стыке.

Рис. 5-31 Непрерывность второй производной для кривых Безье четвертой степени.

Для кубических кривых Безье это условие имеет вид

Несколько карандашных набросков на бумаге покажут, что данное требование существенно ограничивает множество кривых; поэтому на практике для соблюдения непрерывности вторых производных используются полиномиальные кривые более высокого порядка. На рис. 5-31 приведен пример непрерывности вторых производных для двух пятиточечных кривых Безье.

Если необходима более гибкая кривая Безье, увеличивается количество определяющих точек и степень полинома. Для каждой точки на кривой Безье с определяющими вершинами многоугольника та же самая точка на новой кривой Безье с определяющими вершинами задается в виде

, (5-81)

где

, , ,

Здесь можно с успехом применить методику из работы [5-14]. В предельном случае многоугольник сходится к кривой. Дополнительную гибкость кривой можно также получить разбиением кривой Безье на две новых таким образом, чтобы они вместе совпадали с исходной кривой. В работах Барского [5-16, 5-18] было показано, что любая кривая Безье может быть разбита с использованием произвольного параметра в диапазоне . Простейший случай - это средняя точка, т.е. (см. [5-18]). При разбиении средней точкой получаются два специальных вида кубических кривых Безье.

Кубическая кривая Безье (см. упражнение 5-7) задается в виде

, ,

с определяющими вершинами , , , . Тогда многоугольник , , , определяет кривую Безье , , соответствующую первой половине исходной кривой, а именно , , как и требовалось. Подобным образом, многоугольник , , , определяет кривую Безье , , соответствующую второй половине исходной кривой, т.е. , , как и требовалось. Новые определяющие вершины многоугольника и получаются путем приравнивания радиус-векторов и касательных векторов при , ; , и , ; , . Из соотношений (5-62) и (5-72) получаем