8.3.3. Модель обнаружителя типа сумматора с блоком фильтров при перехвате сигналов с медленной ППРЧ
Несмотря на широкую известность описанного выше обнаружителя типа СБФ, устанавливаемое в нем значение порога обнаружения четко не определено. Известно лишь, что порог имеет квазиоптимальное значение, при котором РХ обнаружителя типа СБФ (вероятность обнаружения сигнала при фиксированной вероятности ложной тревоги) оказывается наилучшей. В то же время в известной литературе значение порога приводится иногда с таким разбросом, что практическая ценность этих сведений минимальна. Так, например, в [81] указывается, что квазиоптимальное значение порога лежит между 5 и 25. Одной из причин такого положения является сложность модели обнаружителя, используемой для оценки его эффективности.
Ниже рассмотрена аналитическая модель квазиоптимального обнаружителя типа СБФ при перехвате сигналов с медленной ППРЧ [91]. При этом делаются некоторые предположения, позволяющие более четко отразить основные этапы обработки сигналов в обнаружителе.
В качестве объекта РТР будем анализировать некогерентную СРС с медленной ППРЧ, в которой для передачи информации используется
-ичная ЧМ. „Медленность" ППРЧ предполагает, что интервал между скачками частоты
в несколько раз превышает длительность символа данных
, так что в течение одного интервала (скачка) ППРЧ передается
символов.
На входе обнаружителя типа СБФ переданный сигнал СРС в
-м символе данных на
-м интервале ППРЧ имеет вид:
(8.27)
где
- мощность сигнала в полосе приема (энергия символа
);
- центральная частота ППРЧ на
-м интервале
;
- мгновенная полоса частот одного символа (скорость передачи,
);
- случайная фаза символа;
- одно из
значений символов
.
Отводимая СРС для передачи полоса частот
разбивается на
информационных каналов, каждый с полосой
,
. Все информационные каналы примыкают один к другому без перекрытия и совместно перестраиваются на любую центральную частоту в полосе
.
Конкретная центральная частота ППРЧ
на
-м интервале равновероятно принимает одно из
значений равноразнесенных частот, которые статистически независимы от скачка к скачку. Приведенные определения проиллюстрированы на рис.8.10 для случая двоичной ЧМ
.

Рис. 8.10.
Любой
-й символ данных на
-м интервале ППРЧ, обозначаемый как
, равновероятно принимает одно из значений
и является статистически независимым от символа к символу. Полагаем, что фаза принимаемого сигнала
в течение
-го символа на
-м интервале ППРЧ постоянна и равномерно распределена в пределах
и независима от символа к символу.
Ограниченный по полосе сигнал
принимается обнаружителем типа СБФ на фоне АБГШ
с двусторонней спектральной плотностью
.
В течение каждого интервала наблюдения
за принимаемым сигналом
должно быть принято решение в пользу одной из гипотез:
(8.28)
В целях упрощения анализа положим, что в интервале наблюдения
содержится целое число интервалов (скачков) ППРЧ,
. Предполагается также, что в обнаружителе установлена частотная и временная синхронизация с принимаемым сигналом, т.е. известны
, положение каналов ППРЧ в частотной области, время начала и окончания скачков частоты. В этом случае РТР располагает 5-м уровнем осведомленности о параметрах СРС. При приведенных выше предположениях результаты обнаружения являются наихудшими для СРС, т.е. сигналы СРС будут обнаруживаться с высокой вероятностью.
Структурная схема обнаружителя типа СБФ изображена на рис.8.11 [91]:

Рис. 8.11.
Данный обнаружитель является многоканальным, каждый фильтр которого перекрывает одну
-ичную полосу шириной
из
полос ППРЧ. Таким образом, могут быть обработаны все
информационных сигналов, если они присутствуют на входе обнаружителя. В каждом канале производится формирование квадрата огибающей сигнала с интегрированием по длительности символа, если полоса пропускания фильтра превышает ширину полосы сигнала (при
-ичной ЧМ - в
раз). Затем
символов данных, содержащихся в одном интервале ППРЧ, суммируются и по окончании каждого такого интервала принимается „жесткое" решение относительно наличия входного сигнала, основанное на сравнении с порогом
суммарного сигнала
. Если порог
превышается хотя бы в одном канале на данном интервале, то принимается решение о наличии сигнала и вентиль ИЛИ генерирует 1, в противном случае на его выходе появляется 0. Эти промежуточные жесткие решения суммируются по всем
интервалам в течение времени наблюдения
и полученный результат сравнивается со вторым порогом
. В решающем устройстве принимается окончательное решение относительно гипотезы
или
. Таким образом, задача обнаружителя состоит в совместной оптимизации двух порогов для получения наилучшей РХ, т.е. минимальной вероятности пропуска сигнала
при фиксированной вероятности ложной тревоги
. Фактически независимым является только порог
, поскольку порог
определяется через
и
.
Приведенная на рис.8.11 структурная схема обнаружителя имеет определенное сходство со схемой радиолокационного обнаружителя, реализующего метод обнаружения по совпадению (метод "
из
"). Отличием рассматриваемого обнаружителя является его многоканальность, в связи с чем он содержит два дополнительных элемента: сумматор по 1 и вентиль ИЛИ. Это усложняет аналитическую модель и не в полной мере позволяет использовать разработанную в теории радиолокации методику.
Рассмотрим последовательно формирование вероятностных характеристик обнаружителя типа СБФ на каждом из этапов обработки сигнала.
Первый этап завершается сравнением случайной переменной
с порогом
в каждом канале. Случайная переменная
, полученная в результате преобразований, показанных на рис.8.11, распределена по закону
с
степенями свободы, причем это распределение является центральным при отсутствии сигнала и нецентральным - при его наличии. Paнee указывалось, что при большом числе суммируемых независимых отсчетов
-распределения с высокой точностью могут быть аппроксимированы гауссовскими распределениями. С учетом гауссовской аппроксимации вероятность ложной тревоги
и вероятность обнаружения
запишем в виде:
; (8.29а)
, (8.29б)
где
- функция Крампа (см. табл. 3.1),
и
- среднее значение и дисперсия переменной
при наличии и отсутствии сигнала, соответственно.
В свою очередь, с учетом ряда преобразований можно показать, что
, (8.30)
где
- мощность шума в полосе фильтра
,
;
- отношение сигнал-шум в полосе фильтра,
.
С учетом (8.29б) и (8.30) получаем
. (8.31)
На втором этапе обработки выходные сигналы всех каналов подаются на вход вентиля ИЛИ. Как отмечено выше, на выходе вентиля образуется 1 (сигнал присутствует), если хотя бы в одном из
каналов превышен порог, и 0 (сигнал отсутствует) - в противном случае. Этот процесс приводит к обнаружению с вероятностью
и ложной тревоге - с вероятностью
. Известно, что
; (8.32а)
. (8.32б)
На последнем, третьем этапе обработки производится суммирование единиц, генерируемых вентилем ИЛИ, на протяжении
скачков частоты, имевших место в течение времени наблюдения
, и сравнение полученной суммы с порогом
. Случайная величина на выходе сумматора по
интервалам ППРЧ подчиняется биноминальному закону, и полные вероятности ложной тревоги
и пропуска сигнала
, характеризующие обнаружитель в целом, приобретают вид:
; (8.33а)
. (8.33б)
Таким образом, получены все необходимые выражения, описывающие аналитическую модель обнаружителя типа СБФ и позволяющие определять его РХ, т.е. зависимость вероятности пропуска
(или вероятности обнаружения
, которая равна
) от отношения сигнал-шум при фиксированном значении вероятности ложной тревоги
. Для конкретных расчетов должны задаваться значения следующих системных параметров:
, а также какое-либо значение порога
(его оптимизация осуществляется перебором).
Процедура расчета РХ обнаружителя типа СБФ имеет следующий порядок:
1. Исходя из заданных значений
и
, из уравнения (8.33а) численным методом определяется
.
2. С использованием найденного значения
и заданного значения
из уравнения (8.32а) находится 
. (8.34)
3. С использованием полученного значения
, из уравнения (8.29а) определяется нормированный порог
.
4. После подстановки в (8.31) найденного значения порога
, заданного значения
и одного из текущих значений
из уравнения (8.29а) определяется
.
5. Применяя вычисленные значения
и
, а также заданное значение
, из уравнения (8.32б) находится
.
6. Учитывая полученное значение
и заданные значения
и
, из уравнения (8.33б) находим искомое значение
, которое и определяет одну точку на РХ обнаружителя типа СБФ (точку, соответствующую одному из значений
).
Для получения следующих точек на РХ последовательно задаются значения
, и с использованием этапов 4-6 изложенной процедуры определяются соответствующие значения
до тех пор, пока не будет построена вся РХ обнаружителя при данном значении порога
. Аналогично определяются РХ обнаружителя при других значениях
, пока не будет найдена наилучшая из них, т.е. лежащая ниже других. Во избежание потери информации расчеты следует начинать с
с последовательным приращением на единицу.
Отметим важное обстоятельство. На практике часто требуется не только провести оптимизацию того или иного типа обнаружителя, но и выбрать сам этот тип, исходя из предъявляемых к нему требований. В этом случае сравнение РХ, построенных в виде функций отношения
, невозможно, поскольку это отношение является индивидуальным свойством каждого типа обнаружителя, отличающегося от других шириной полосы пропускания канала и временем наблюдения (напомним, что
) , где
- ширина полосы фильтра.) В связи с этим используют так называемое эквивалентное отношение сигнал-шум
, имеющее вид
. (8.35)
Это отношение отражает исходное соотношение мощностей сигнала и шума и не зависит от типа обнаружителя. Очевидно
. (8.36)
Пример расчета РХ обнаружителя типа СБФ по изложенной выше методике. Пусть осуществляется перехват сигналов СРС с медленной ППРЧ и двоичной ЧМ со следующими параметрами [92]:
.
Отсюда следует, что

Интервал наблюдения
в обнаружителе типа СБФ принимается равным 0,2 с. Отсюда число последовательных интервалов ППРЧ
.
На рис.8.12 показаны РХ обнаружителя типа СБФ, рассчитанные в соответствии с приведенной выше процедурой при
и
.

Рис. 8.12.
Для сравнения на рис.8.12 изображена РХ широкополосного обнаружителя (радиометра), охватывающего весь диапазон частот 10 МГц с интегрированием в течение 0,2 с. Дополнительно, в целях иллюстрации наличия квазиоптимального значения порога
на рис.8.13 приведены срезы РХ обнаружителя типа СБФ (зависимости
от
) при значениях
, равных -33 дБ и -33,8 дБ.

Рис. 8.13.
Приведенные графики, помимо иллюстрации применимости изложенной методики, позволяют сделать следующие выводы:
1) квазиоптимальное значение порога обнаружения
существует: в данном случае оно равно 4; 2) несмотря на незначительность сдвига РХ по оси
их высокая крутизна является причиной того, что отступление от квазиоптимальности при установлении порога
может значительно ухудшить РХ обнаружителя: так, опорная точка РХ
в оптимуме (при
) достигается при
дБ, и отступление от оптимума к
и
увеличивает
до
и
, соответственно; 3) в рассматриваемом случае обнаружитель типа СБФ значительно эффективнее радиометра; так, например, в опорной точке РХ
требуемое
для обнаружителя типа СФБ - на 8,7 дБ меньше, чем для радиометра; 4) имеется основание полагать, что для данной модели обнаружителя сигналов с медленной ППРЧ квазиоптимальное значение порога
близко к целой части
, где
,
- интервал наблюдения за принимаемым сигналом.