Приложение П.8.1. Алгоритмы вычисления обобщенной Q-функции Маркума
П.8.1.1. Постановка задачи
При обнаружении сигналов в гауссовском шуме с равномерной спектральной плотностью мощности в пределах рассматриваемой полосы частот статистика, по которой принимается решение, имеет нецентральное
-распределение. При этом параметр нецентральности равен удвоенному отношению сигнал-шум
, число степеней свободы равно удвоенному произведению длительности наблюдения на ширину полосы пропускания входных цепей обнаружителя
. В отсутствии сигнала статистика имеет центральное
-распределение. Поэтому для расчета вероятностей ложной тревоги и обнаружения сигналов требуется вычислять интегралы от плотности вероятностей
-распределения с
степенями свободы, которое определяется следующим образом. Если
- независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами
, соответственно, то распределение случайной величины
(П.8.1.1)
называется нецентральным
-распределением с
степенями свободы и параметром нецентральности
. (П.8.1.2)
При
распределение называется центральным
-распределением.
Классические алгоритмы расчета нецентрального
-распределения, применяемые в математической статистике, становятся малоэффективными при тех значениях параметров, которые имеют место в задачах обнаружения. Поэтому в настоящее время не ослабевает интерес к разработке эффективных алгоритмов расчета функции нецентрального
-распределения с высокой точностью, о чем свидетельствует ряд публикаций [87,98-106]. При этом расчет рабочих характеристик обнаружителей выделен в специфическую задачу, связанную с вычислением обобщенной
-функции Маркума или
-функции. Алгоритмы расчета указанных функций используют разложение в степенные ряды [100,101] или ряды по функциям Бесселя (ряды Неймана) [102,103], численное интегрирование, основанное на методе перевала вычисления контурных интегралов [105,106], а также различные варианты гауссовской аппроксимации.
Ниже приводятся систематизация разрозненных подходов к расчету распределения
, модификация алгоритмов, анализ вычислительной устойчивости и границ применимости, сравнение результатов, полученных по различным алгоритмам.
Как известно [87,98,99], рабочие характеристики энергетических обнаружителей: вероятности
- ложного обнаружения,
- обнаружения и
- пропуска сигнала выражаются через интегральные функции центрального и нецентрального
-распределения
, (П.8.1.3)
где
- (П.8.1.4)
интегральная функция центрального
-распределения;
- (П.8.1.5)
интегральная функция нецентрального
-распределения;
- порог обнаружения;
- число степеней свободы (
,
- время,
- ширина полосы).
В классическом варианте нецентральное
-распределение выражается через центральное. Действительно, плотность вероятностей для нецентрального
-распределения с учетом представления функции Бесселя в виде степенного ряда
(П.8.1.6)
запишется следующим образом
, (П.8.1.7)
где
- (П.8.1.8)
плотность вероятностей центрального
-распрсделения. После интегрирования (П.8.1.7) получим выражение для функции распределения
, (П.8.1.9)
где для четных 
. (П.8.1.10)
Таким образом, после подстановки (П.8.1.10) в (П.8.1.9) получим выражение для
в виде степенного ряда
. (П.8.1.11)
Исторически сложилось, что наряду с распространенным в математической статистике центральным и нецентральным
-распределением в задачах обнаружения рассматриваются обобщенная
-функция Маркума и
- функция, которые с помощью замены переменных сводятся к распределению
. Для этих функций имеют место следующие интегральные представления [100-102]:
, (П.8.1.12)
где
и
- параметры;
(П.8.1.13)
обозначает вероятность некогерентного обнаружения
импульсов;
- отношение сигнал-шум для одного импульса;
- нормированный порог обнаружения.
Между указанными функциями существует взаимосвязь:
(П.8.1.14)
Таким образом, имея расчетные формулы для одной из функций, можно рассчитать другие функции, а, следовательно, и рабочие характеристики обнаружителей.
Для расчета обобщенной
-функции Маркума хорошо известно представление в виде ряда Неймана [102]:
; (П.8.1.15)
. (П.8.1.16)
Представления через степенные ряды (П.8.1.11) и ряды Неймана (П.1.15), (П.1.16) являются основой для построения целого ряда эффективных вычислительных алгоритмов.
Для удобства сравнения с результатами, опубликованными в первоисточниках, сохраним обозначения, используемые в них.