П.8.1.2. Представление степенными рядами
Для вычисления
и
- функций применяются разложения в степенные ряды. Наиболее известны два варианта разложения в степенные ряды функции
и два варианта - для функции
[100]. Отметим, что важно иметь отдельно выражения для
и при необходимости использовать именно их, а не находить
и затем вычитать ее из единицы, так как при этом можно уменьшить точность вычисления. В [100] представлены следующие разложения:
; (П.8.1.17)
; (П.8.1.18)
; (П.8.1.19)
. (П.8.1.20)
Основная вычислительная сложность, связанная со степенным рядом, это исчезновение значащих разрядов при вычислении
или недостаточная точность, возникающая при вычислении произведения большого числа на малое. Поэтому для вычисления
-го члена ряда целесообразно использовать тождество
, (П.8.1.21)
а
вычислять приближенно по формулам, аналогичным формулам Стирлинга
, (П.8.1.22)
где
представляется в виде непрерывной дроби следующим образом
.
Ошибка округления при этом не превышает
. Для
значение
можно получить обычным способом.
Теоретически можно использовать любую формулу (П.8.1.17)-(П.8.1.20), однако на практике они не всегда дают точный результат из-за потери значащих цифр при малых значениях членов ряда. Поэтому, чтобы выбрать наиболее подходящее разложение, значения
(или
) оцениваются с помощью границы Чернова
, (П.8.1.23)
где
. (П.8.1.24)
Граница Чернова удовлетворяет следующим неравенствам:
при
;
при
.
При заданной величине абсолютной ошибки
проверяется неравенство
. Если неравенство выполняется, то
приравнивается к нулю при
, или единице при
. Тем самым достигается требуемая точность без дополнительных вычислений. В зависимости от того, где находится граница Чернова при данных значениях
, выбирается та или иная форма в разложении (П.8.1.17)-(П.8.1.20).
Ниже приведена процедура выбора аппроксимирующих формул для
[100]:
1) Если
и
, то
.
2) Если
и
, то
.
3) Если
и
, то рекомендуется использовать (П.8.1.19).
4) В остальных случаях применять разложение (П.8.1.20).
При расчете
рекомендуется следующая процедура выбора:
1) Если
и
, то
.
2) Если
и
, то
.
3) Если
и
, то рекомендуется использовать разложение (П.8.1.17);
4) В остальных случаях используется разложение (П.8.1.18).
Рекуррентный алгоритм Макги. Представляя степенные ряды (П.8.1.17), (П.8.1.19) в виде:
, (П.8.1.25)
. (П.8.1.26)
Макги предложил рекуррентный алгоритм пересчета параметров по формулам [101]:
(П.8.1.27)
при начальных условиях
.
Обозначим через
и
частичные суммы рядов (П.8.1.25) и (П.8.1.26) соответственно, а через
- требуемую относительную ошибку вычисления
и
. С учетом введенных обозначений можно сформулировать условия окончания итерационного процесса.
Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия
(П.8.1.28)
для вычисления
и
(П.8.1.29)
для вычисления
.