П.8.1.3. Представление в виде рядов Неймана
Следуя [102], примем за основу вычислительного алгоритма представление обобщенной
-функции в виде ряда Неймана (П.8.1.15), (П.8.1.16). Суть вычислительного метода заключается в вычислении
для
и
для
посредством рекурсии модифицированной функции Бесселя, применяемой в обратном порядке.
При выводе алгоритма в [102] используется более общее разложение в ряд Неймана
. (П.8.1.30)
Функции данного вида образуют широкий класс, включающий в себя и
,
при
, а также разложение единицы
. (П.8.1.31)
Эти разложения вычисляются с помощью рекурсии бесселевых функций в обратном порядке
, (П.8.1.32)
начиная с некоторого большого
, при предположениях
и
. Постоянная
находится из условия разложения в ряд Неймана единицы (П.8.1.31). Возникающая ошибка связана с двумя источниками - ошибкой усечения бесконечного ряда и ошибкой от переходных процессов, возникающей при вычислении функций Бесселя по рекуррентным формулам из-за неточного задания начальных условий в обратной рекурсии. При этом, как показано в [102], ошибка переходных процессов мала по сравнению с ошибкой из-за усечения ряда Неймана.
Обозначим через
и
функции, аппроксимирующие
и
в результате усечения рядов (П.8.1.30), (П.8.1.31), где вместо функций Бесселя используется их аппроксимация, полученная в результате рекурсии в обратном порядке
(П.8.1.33)
С учетом сделанных обозначений
можно представить следующим образом
. (П.8.1.34)
Из (П.8.1.33) и (П.8.1.34) после преобразований получим рекуррентную формулу
. (П.8.1.35)
Формула (П.8.34) позволяет рекуррентным образом получить
при следующих начальных значениях
,
. Аналогичные рекуррентные формулы можно получить и для
. Поскольку
, то после
итераций получим аппроксимацию для
вида
. (П.8.1.36)
Выражение (П.8.1.34) применимо к
в (П.8.1.15)
при подстановке
(П.8.1.37)
и к
в (П.8.1.16)
при подстановке
(П.8.1.38)
Обозначив через
, можем сформулировать алгоритм.
Алгоритм. На первом шаге вычислений задаются начальные значения
. (П.8.1.39)
Если
, то
(П.8.1.40)
Рекуррентно пересчитываются
(П.8.1.41)
Вычисления заканчиваются, если
, (П.8.1.42)
где
- требуемая погрешность в вычислении обобщенной
-функции.
Окончательный результат определяется из выражения
. (П.8.1.43)
При
имеем
(П.8.1.44)
Величины
и
пересчитываются в соответствии с (П.8.1.41). Условие окончания счета такое же, как и при вычислении
.
Окончательный результат принимает вид:
. (П.8.1.45)
В частном случае для
начальные условия имеют вид:
(П.8.1.46)
Рекуррентно пересчитываются
. Остальные параметры пересчитываются в соответствии с (П.8.1.41)-(П.8.1.46).
Ошибка вычисления и условия останова. Общая относительная ошибка вычисления
или
определяется относительной ошибкой частного
, которая равна сумме относительных ошибок в
и
. Погрешность вычисления
и
связана с усечением ряда Неймана и неточностью задания начальных условий в обратной рекурсии вычисления функций Бесселя. Суммарная относительная ошибка вычисления знаменателя определяется из выражения
. (П.8.1.47)
Относительная ошибка вычисления числителя
(П.8.1.48)
Из сравнения (П.8.1.47) и (П.8.1.48) следует, что при
относительная ошибка знаменателя значительно преобладает над относительной ошибкой числителя. Поэтому условие окончания счета определяется достижением заданной точности вычисления знаменателя, которое для удобства задается в виде
. В [103] рассмотрены и другие условия окончания счета. Заметим, что все они приводят к одинаковому числу итераций при заданной точности вычисления
-функции.
Границы применимости алгоритма. В [102] отмечено, что алгоритм не эффективен для больших значений
. Однако в [102] не приведены данные, касающиеся приемлемого значения
. В общем случае существуют комбинации параметров
, для которых алгоритм утрачивает эффективность. Это объясняется тем, что результаты арифметических операций над числами с плавающей точкой становятся больше или меньше допустимых в ЭВМ чисел, прежде чем достигается требуемая точность. Эмпирические результаты показывают, что минимальное значение
, при котором алгоритм работает, определяется выражением [103]
, (П.8.1.49)
где
- наибольшее число, представляемое в ЭВМ. Для достаточно больших
алгоритм обеспечивает высокую точность вычисления как в центральной части распределения, так и в «хвостовых» частях.