П.8.1.4. Численное интегрированиеАлгоритмы вычисления, основанные на представлении в виде степенных рядов или рядов Неймана, при больших значениях параметров теряют вычислительную устойчивость из-за переполнения или исчезновения порядка. В связи с этим вычислительный рекуррентный процесс может прерваться не достигнув заданной точности. Поэтому при определенных значениях параметров целесообразно использовать численные методы вычисления интеграла. Однако применение вычислительных процедур непосредственно к интегралу (П.8.1.12) или (П.8.1.13) не всегда гарантирует требуемую точность, особенно при больших значениях отношения сигнал-шум. Более эффективным оказался предложенный в [105,106] подход, основанный на представлении функции Суть метода состоит в том, что после применения в (П.8.1.13) к
где
преобразование Лапласа от подынтегральной функции в (П.8.1.13). Для удобства применения идей метода перевала представим контурный интеграл (П.8.1.50) следующим образом
где
фазовая функция. Как следует из теоремы Коши, значение контурного интеграла не зависит от пути интегрирования в области аналитичности подынтегральной функции. Поэтому, согласно методу перевала [107], контур интегрирования следует деформировать таким образом, чтобы на небольшом его участке
Корни уравнения могут быть найдены численно методом Ньютона-Рафсона
где
Начальное приближение седловой точки
и начальное приближение
где Анализ уравнения (П.8.1.54) показывает, что существует единственный корень на отрицательной части действительной оси между началом координат и
Для получения более точного значения целесообразно применить численный метод вычисления контурного интеграла, например, метод трапеций. Прямолинейный контур интегрирования. Рассмотрим сначала случай, когда контур интегрирования представляет собой вертикальную прямую, проходящую через седловую точку. Для такого контура
При вычислении методом трапеций интеграла (П.8.1.60) существуют два типа ошибок: ошибка, возникающая из-за усечения несобственного интеграла, и ошибка метода трапеций, возникающая при вычислении определенного интеграла с конечным верхним пределом. Верхний предел интегрирования
где
где Если
Когда
Таким образом, при определении верхнего предела интегрирования задается ошибка
где Точность вычисления по методу трапеций можно повысить, уменьшая шаг разбиения в два раза. При этом значения подынтегральной функции вычисляются только в промежуточных точках и добавляются к вычисленному значению интеграла. Заметим, что рассмотренный прямолинейный контур интегрирования может значительно уклоняться от пути наискорейшего спуска, определяемого условием [107]
и поэтому скорость сходимости итерационного процесса недостаточно высока. С целью ускорить процесс сходимости вычислительной процедуры в [106] применяется параболический контур интегрирования. Параболический контур интегрирования. В окрестности седловой точки контур интегрирования можно аппроксимировать параболой [105,106]
где
С учетом (П.8.1.67) и (П.8.1.68) контурный интеграл (П.8.1.52) можно представить в виде
к которому применяется вычислительная процедура, описанная для прямолинейного контура. В данном случае скорость сходимости выше, чем для прямолинейного контура.
|