П.8.2.2 Алгоритмы расчета вероятностно-временных характеристик основных видов обнаружителейП.8.2.2.1 Обнаружитель детерминированных сигналовВ данном случае на вход обнаружителя поступает случайный процесс
где Оптимальный обнаружитель детерминированных сигналов может быть реализован на базе коррелятора или согласованного фильтра (рис.П.8.2.1,а,б, где обозначено: УС - устройство сравнения). Рис. П.8.2.1. Статистика обнаружителя имеет вид:
Статистика
где Отношение сигнал-шум
где Вероятности ложной тревоги и обнаружения на одном шаге можно записать в виде:
где
Определим зависимость среднего времени 1. Задаются значения величин: 2. Вычисляется текущее значение времени обнаружения на одном шаге 3. Для каждого где 4. Вычисляется отношение сигнал-шум
5. Находятся среднее время и его дисперсия
П.8.2.2.2 Обнаружитель квазидетерминированных сигналов со случайной фазойСтруктурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой, реализованного на базе коррелятора или согласованного фильтра, изображена на рис.П.8.2.2,а,б. Рис. П.8.2.2. Статистика на выходе обнаружителя при наличии шума и смеси сигнала с шумом распределена по закону Рэлея и обобщенному закону Рэлея, соответственно. Вероятность ложной тревоги определяется из выражения [90]
а вероятность обнаружения
Значение нормированного порога
где
Заменой переменных
где 1. Задаются значения величин: 2. При заданной вероятности ложной тревоги по формуле (П.8.2.31) вычисляется величина нормированного порога. 3. Варьируются время наблюдения на одном шаге 4. По формуле (П.8.2.33) вычисляется вероятность правильного обнаружения сигнала 5. Вычисляется среднее время и дисперсия. П. 8.2.2.3 Обнаружитель сигналов неизвестной структурыПредельным случаем априорной неопределенности относительно обнаруживаемых сигналов является задача обнаружения стохастических сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи
где В [83] Кайлат показал, что функционал отношения правдоподобия при обнаружении стохастического сигнала в (П.8.2.34) в общем случае имеет вид:
где
оценка случайного сигнала Как было показано выше, оптимальные алгоритмы обнаружения стохастических сигналов чрезвычайно трудоемки при практической реализации (см. рис.8.1). Более простым для реализации является энергетический обнаружитель Прайса-Урковица (рис.П.8.2.3) [86, 87]. Рис. П.8.2.3. Нормированная статистика на выходе обнаружителя имеет вид:
Вероятности ложной тревоги
где Значение порогового уровня находится как решение уравнения
Для решения данного уравнения можно использовать численные алгоритмы, в частности, алгоритм деления отрезка пополам. Для
или более точной аппроксимацией Корниша-Фишера [109]
где
Из (П.8.2.38)-(П.8.2.44) следует алгоритм расчета характеристик обнаружителя сигналов неизвестной структуры. 1. Для каждого 2. Задается вероятность ложной тревоги 3. По найденному значению 4. Используя одну из процедур вычисления нецентрального
5. Среднее время и дисперсия Алгоритм вычисления динамических характеристик при ограничении на число шагов обнаружения аналогичен рассмотренным ранее случаям, где в качестве выражений для среднего времени и дисперсии следует применять (П.8.2.15) и (П.8.2.18). П.8.2.2.4. Обнаружители сигналов с постоянным уровнем ложной тревогиВ рассмотренных выше обнаружителях процедура обнаружения сигналов сводится к сравнению статистики, основанной на выборках входной смеси сигнала и помехи, с порогом. Однако, изменение интенсивности или закона распределения вероятностей помехи существенно ухудшает РХ обнаружителей, синтезированных по критерию максимума отношения правдоподобия. Так, например, изменение интенсивности помехи на 2 дБ приводит к изменению вероятности ложной тревоги в системе с фиксированным порогом на два порядка [110]. Поэтому возникает необходимость в специальных алгоритмах обработки с постоянным уровнем ложных тревог (ПУЛТ). Первоначально алгоритмы обработки с ПУЛТ появились для гауссовских помех с неизвестной мощностью. Стабилизация уровня ложной тревоги в этом случае сводится к оценке мощности помехи и установления соответствующего порога обнаружения. Структурная схема одного из вариантов такого обнаружителя изображена на рис.П.8.2.4. Рис. П.8.2.4. Она содержит линейный тракт приемника (ЛТП), квадратичный детектор (КД), линию задержки (ЛЗ), реализующую „скользящее окно", осредняющий сумматор, на выходе которого формируется сигнал, пропорциональный мощности шума, и пороговое устройство. Величина задержки между отводами ЛЗ приблизительно равна длительности принимаемого сигнала. Сигнал с выхода центрального отвода
Существуют различные комбинации обнаружителей данного типа [110,111]. Здесь ограничимся рассмотрением базового обнаружителя (рис.П.8.2.4). Приведем основные выражения для расчета вероятности ложной тревоги и обнаружения на одном шаге обнаружения. Если на вход обнаружителя поступает только гауссовский шум, то статистика на выходе КД имеет плотность распределения вероятности
где Если на вход детектора поступает смесь сигнала с шумом, то плотность распределения квадрата огибающей на выходе детектора имеет вид:
где
где Вероятность ложной тревоги
где случайная величина
где Из (П.8.2.50) с учетом (П.8.2.49) получим выражение для вероятности ложной тревоги
Вероятность обнаружения также находится из (П.8.2.49) при условии, что
в данном случае имеет так называемое нецентральное
Вероятность обнаружения может быть представлена следующим образом:
После подстановки (П.8.2.53) в (П.8.2.54) и интегрирования с учетом свойств бета-функции [48] получим выражение для вероятности обнаружения в виде ряда
Формула (П.8.2.55) устанавливает функциональную зависимость между вероятностью обнаружения и величиной порогового множителя
где
Выражения (П.8.2.55), (П.8.2.56) и (П.8.2.57) позволяют рассчитать вероятность обнаружения как функцию от отношения сигнал-шум при фиксированных вероятностях ложных тревог В предельном случае при
а вероятность обнаружения
где
|