4.2. Преобразование Хаара
Преобразование Хаара использует функцию шкалы
и вейвлет
, которые показаны на рис 4.14а, для представления широкого класса функций. Это представление имеет вид бесконечной суммы
,
где
и
- коэффициенты, которые необходимо определить.
Базисная функция шкалы
является единичным импульсом

Функция
является копией функции
, сдвинутой вправо на число
. Аналогично, функция
получается из функции
сжатием аргумента в два раза (это еще можно назвать уменьшением масштаба). Сдвинутые функции используются для аппроксимации функции
при различных моментах времени, а функции с разными масштабами нужны для аппроксимации функции
при более высоком разрешении. На рис. 4.14b приведены графики функций
при
и при
. Базисный вейвлет Хаара
является ступенчатой функцией

Из этого определения мы заключаем, что общий вейвлет
получается из
сдвигом вправо на
единиц и сменой масштаба в
раз. Четыре вейвлета
при
показаны на рис. 4.14с.
Обе функции
и
не равны нулю на интервале ширины
. Этот интервал называется носителем этих функций. Поскольку длина этого интервала стремится к нулю, когда
стремится к бесконечности, мы будем говорить, что функции имеют компактный носитель.
Проиллюстрируем основное преобразование с помощью простой ступенчатой функции
.
Легко видеть, что
. Мы скажем, что исходные ступени (5,3) были преобразованы в представление, имеющее среднее (низкое разрешение) 4 единицы и детали (высокое разрешение) 1 единица. Если воспользоваться матричным представлением, то это можно записать как (5,3)
, где
- матрица преобразования Хаара порядка 2 (см. уравнение (3.16)).

Рис. 4.14. Базисная шкала Хаара и вейвлетные функции.