4.6. Преобразование DWTИнформация, которая производится и анализируется в повседневной жизни, является дискретной. Она чаще поступает в виде чисел, а не в форме каких-то непрерывных функций. Поэтому на практике чаще применяются дискретные вейвлетные преобразования (DWT). Конечно, непрерывные вейвлетные преобразования (CWT, см., например, [Lewalle 95] и [Rao, Bopardikar 98]) также интенсивно изучаются, поскольку это позволяет лучше понять действие DWT. Преобразование DWT использует свертку, однако из опыта известно, что качество преобразований такого типа сильно зависит от двух вещей: от выбора масштабирующих множителей и временных сдвигов, а также от выбора вейвлета. На практике преобразование DWT вычисляется с помощью масштабирующих множителей, которые равны отрицательным степеням двойки, и временных сдвигов, которые равны положительным степеням числа 2. На рис. 4.24 показана так называемая двухчленная решетка, которая иллюстрирует такой выбор. Используемые вейвлеты порождают ортонормальные (или биортонормальные) базисы. Рис. 4.24. Двухчленная решетка. Связь масштаба со сдвигами по времени. Основное направление исследования вейвлетов состоит в поисках семейств вейвлетов, которые образуют ортогональный базис. Среди этих вейвлетов предпочтение отдается вейвлотам с компактным носителем, поскольку они позволяют делать преобразования DWT с конечным импульсным откликом (FIR, finite impulse response). Самый простой способ описания вейвлетных преобразований использует произведение матриц. Этот путь уже был продемонстрирован в § 4.2.1. Преобразование Хаара зависит от двух коэффициентов фильтра
Эта матрица имеет размер 2х2. С ее помощью порождаются два коэффициента преобразования: среднее и разность. (Заметим, что эти среднее и разность не равны в точности полусумме и полуразности, поскольку вместо 2 используется знаменатель Сначала мы рассмотрим один из самых популярных вейвлетов, а именно вейвлет Добеши, который принято обозначать D4. Из этого обозначения видно, что он основан на четырех коэффициентах фильтра
Если эту матрицу применить к вектору-столбцу исходных данных Аналогично вторая строка матрицы Таким образом вейвлетное преобразование любого изображения представляет собой прохождение исходного образа через фильтр QMF, который состоит из низкочастотного фильтра ( Если размер матрицы
Можно показать, что матрица
Умножение на матрицу Рис. 4.25. Одномерное прямое DWT (Matlab). На рис. 4.25 показана программа Matlab, которая делает эти вычисления. Функция fwt1(dat,coarse,filter), аргументом dat которой является исходный вектор из Простой тест для функции fwt1: На рис. 4.26 приведена программа одномерного дискретного вейвлетного преобразования, которое вычисляется с помощью функции iwt1(wc,coarse,filter). Ниже приведен простой тест для ее проверки. Рис. 4.26. Одномерное обратное DWT (Matlab). Простой тест для функции iwt1: Для читателей, которые потрудились разобраться с одномерными функциями fwt1 и iwt1 (рис. 4.25 и 4.26), мы приводим двумерные аналоги этих функций fwt2 и iwt2 (см. рис. 4.27 и 4.28), для которых также приведена простая тестовая программа. Кроме семейства фильтров Добеши (между прочим, вейвлет Хаара порождает фильтр Добеши степени 2) существует множество других семейств вейвлетов, имеющие другие полезные свойства. Вот некоторые известные фильтры: фильтр Белкина, фильтр Койфмана, симметричный фильтр. Семейство вейвлетов Добеши состоит из ортонормальных функций с компактным носителем, в котором каждая следующая функция имеет большую гладкость, чем предыдущая. В § 4.8 обсуждается вейвлет Добеши D4, а также его «строительный блок». Словосочетание «компактный носитель» означает, что эти функции равны нулю вне некоторого конечного отрезка числовой оси времени. Рис. 4.27. Двумерное прямое DWT (Matlab). Рис. 4.28. Двумерное обратное DWT (Matlab). Простой тест для функций fwt2 и iwt2: Вейвлет Добеши D4 строится по четырем коэффициентам, приведенным в (4.12). Аналогично, вейвлет D6 имеет шесть коэффициентов. Их можно найти, решив систему из шести уравнений, три из которых отражают свойство ортонормальности, а другие три получаются из условия равенства нулю первых трех моментов. Результат приведен в (4.13).
В каждой последовательности этого семейства число коэффициентов на два больше, чем в предыдущей, причем они являются более гладкими. Происхождение этих функций обсуждается в [Daubechies 88], [DeVore и др. 92] и [Vetterli, Kovacevic 95].
|