4.5. Нахождение коэффициентов фильтра
После рассмотрения общих операций над фильтрами возникает следующий вопрос: «Как находить коэффициенты фильтров?» Полный ответ на этот вопрос весьма непрост и выходит за рамки нашего изложения (см., например, [Akansu, Haddad 92]). В этом параграфе мы постараемся дать некоторое представление об основных правилах и методах вычисления коэффициентов различных банков фильтров.
Пусть имеется два прямых фильтра
,
и два обратных фильтра
,
, которые состоят из
отсчетов (число
предполагается четным). Обозначим их коэффициенты через
,
,
,
.
Четыре вектора
,
,
и
являются импульсными откликами четырех фильтров. Вот простейшие правила, позволяющие выбрать численные значения для этих векторов:
1. Нормализация: Вектор
имеет единичную длину.
2. Ортогональность: Для любого целого числа
, удовлетворяющего неравенству
, вектор, состоящий из первых
элементов
, должен быть ортогонален вектору, составленному из последних
элементов того же вектора
.
3. Вектор
состоит из компонентов вектора
, записанных в обратном порядке.
4. Вектор
является копией
, но с обратными знаками у компонент на нечетных позициях (первой, третьей и т.д.). Формально это можно выразить как покомпонентное умножение вектора
на вектор
.
5. Вектор
является копией
, но с обратными знаками у компонент на четных позициях (второй, четвертой и т.д.). То есть,
равен
, умноженному на
.
Для фильтра с двумя отсчетами правило 1 означает, что
. (4.10)
Правило 2 не применимо, так как
и неравенство
означает, что
. Правила 3-5 дают соотношения
,
,
.
Значит, все зависит от выбора чисел
и
. Однако, уравнения (4.10) не достаточно для их определения. Тем не менее, видно, что значения
удовлетворяют этому условию. Для фильтров из четырех отсчетов правила 1 и 2 означают, что
,
, (4.11)
а правила 3-5 дают соотношения
,
,
.
Опять, уравнений (4.11) не достаточно для точного задания четырех неизвестных, поэтому необходимы дополнительные условия для вывода четырех коэффициентов (здесь помогает математическая интуиция). Эти коэффициенты приведены в (4.12), они образуют фильтр Добеши D4.
Для фильтра с восемью отсчетами, правила 1 и 2 приводят к уравнениям
,
,
,
,
а правила 3 5 записываются в виде соотношений
,
,
.
Восемь допустимых коэффициентов приведены в табл. 4.23 (они образуют (фильтр Добеши D8).
.230377813309
|
.714846570553
|
.6308800767930
|
-.027983769417
|
-.187034811719
|
.030841381836
|
.032883011667
|
-.010597401785
|
Табл. 4.23. Коэффициенты фильтра Добеши с 8 отсчетами.
Для задания
коэффициентов для каждого из фильтров
,
,
и
необходимо знать коэффициенты с
по
. Поэтому следует задать
уравнений для нахождения этих величин. Однако правила 1 и 2 дают только
уравнений. Значит, необходимо добавить новые условия для однозначного определения чисел с
по
. Вот некоторые примеры таких условий:
Фильтр пропускания низких частот: Мы хотим, чтобы фильтр
пропускал только низкие частоты, поэтому имеет смысл потребовать, чтобы частотный отклик
был равен нулю для самой высокой частоты
.
Минимальный фильтр фазы: Это условие означает, что нули комплексной функциий
должны лежать на единичной окружности комплексной плоскости или вне ее.
Контролируемая колинеарность: Линейность фазового отклика можно контролировать с помощью нахождения минимума суммы
.
Другие условия обсуждаются в [Akansn, Haddad 92].