4.4. Банк фильтровМатричное определение преобразования Хаара будет использовано в этом параграфе для введения понятия банка фильтров [Strang, Nguyen 96]. Будет показано, что преобразование Хаара можно интерпретировать как банк, состоящий из двух фильтров: один пропускает низкие частоты, а другой высокие. Будет дано объяснение термину «фильтр», а также показано, как простая идея банка фильтров ложится в основу концепции поддиапазонных преобразований [Simoncelli и др. 90]. Конечно, преобразование Хаара является простейшим вейвлетным преобразованием, которое здесь употребляется для иллюстрации новых идей. Однако, его использование в качестве банка фильтров не очень эффективно. В конкретных приложениях используются более сложные множества фильтров, однако общая идея остается без изменений. Фильтром называется линейный оператор, определяемый с помощью коэффициентов фильтра
Заметим, что пределы суммирования зависят от выбора последовательностей
причем центральное значение « Глубже вникнуть в работу фильтра можно с помощью простейшего входного сигнала На рис 4.18 показана основная идея банка фильтров. Там изображен банк анализа, состоящий из двух фильтров: низкочастотного Рис. 4.18. Банк фильтров из двух каналов. Входной сигнал Пример: Легко построить банк фильтров, в котором низкочастотный фильтр вычисляет средние значения, а высокочастотный фильтр вычисляет полуразности, то есть, делается преобразование Хаара входного сигнала. Коэффициенты низкочастотного фильтра равны и получаем последовательность средних чисел
и последовательность полуразностей
После децимации (прореживания) первая последовательность сокращается до (239.5, 175.5, 111, 47.5), а вторая приобретает следующий вид: (15.5, 16.5, 16, 15.5). Затем эти две последовательности объединяются в одну: (239.5, 175.5, 111, 47.5, 15.5, 16.5, 16, 15.5), совпадающую с последовательностью, которая получается из уравнения (4.1). Восстановление исходной последовательности делается с помощью банка синтеза, который отличается от банка анализа. Фильтр синтеза низких частот использует два коэффициента фильтра 1 и 1 для вычисления четырех восстановленных значений
__________________________________________________
Банки фильтров позволяют взглянуть на преобразование Хаара с общих позиций. Они же дают возможность построить другие, более изощренные вейвлетные преобразования. Эта техника обсуждается в § 4.5. Использование банка фильтров имеет существенное преимущество по сравнению с одним фильтром, так как позволяет использовать свойства, недоступные одному фильтру. Прежде всего, это возможность восстанавливать исходный сигнал Децимация не является трансляционно-инвариантной операцией. После ее применения выходная последовательность состоит из четных членов Выходы банка анализа называются коэффициентами поддиапазона. Их можно квантовать (если допустима частичная потеря информации), а затем сжимать с помощью RLE, методом Хаффмана, арифметическим кодированием или любым другим методом. В конечном счете, они подаются на вход банка синтеза, где к ним сначала добавляются нули (на место отброшенных членов), после чего они пропускаются через обратные фильтры Обратная процедура состоит в добавлении нулей на место отброшенных членов. Она преобразовывает этот вектор в форму
Децимация означает потерю данных. Обратная процедура не может компенсировать эту потерю, поскольку она лишь добавляет нули. Для того, чтобы достигнуть полного восстановления исходного сигнала На рис. 4.19 показано множество ортогональных фильтров размера 4. Эти фильтры ортогональны, поскольку скалярное произведение векторов их коэффициентов равно нулю:
Заметьте, что фильтры Рис. 4.19. Ортогональный банк фильтров с 4 коэффициентами. Если с помощью этого фильтра вручную посчитать несколько примеров, то будет видно, что реконструированный сигнал идентичен исходному входному сигналу, но отстает от него на три отсчета по времени. Банк фильтров может быть биортогональным, менее ограничительным типом фильтров. На рис. 4.20 показан пример такого фильтра, который полностью восстанавливает исходный сигнал. Обратите внимание на схожесть фильтров Рис. 4.20. Биортогональный банк фильтров с полным восстановлением. Нам уже известно из § 4.2, что выходы фильтра низких частот Если «взбираться» вверх по логарифмическому дереву с уровня
Каждый уровень дерева соответствует удвоению частоты (или разрешения) по отношению к предыдущему уровню, поэтому логарифмическое дерево еще называют деревом с мультиразрешением. Рис. 4.21. Масштабирующая и вейвлетная функции как предел логарифмического дерева. Тот, кто профессионально работает со звуком и музыкой, знает, что два тона, имеющие частоты Заключение. В этом параграфе рассматривались банки фильтров, которые будет полезно сравнить с преобразованием изображений из § 3.5. В обоих случаях обсуждаются преобразования, но это два разных типа преобразований. Каждое преобразование § 3.5 основано на некотором ортогональном базисе функций (или ортогональном базисе изображений), и они вычисляются с помощью взятия скалярного произведения входного сигнала со всеми базисными функциями. Результатом является множество коэффициентов преобразования, которые в дальнейшем сжимаются или без потери информации (с помощью метода RLE или иного энтропийного кодирования), или методом, допускающим потерю данных (тогда кодированию предшествует этап квантования преобразованных данных). В этом параграфе рассматривались поддиапазонные преобразования - другой тип преобразований, вычисляемых с помощью свертки входного сигнала с частотными фильтрами из некоторого семейства с последующим прореживанием (децимацией) результатов. Каждая прореженная последовательность преобразованных коэффициентов является частью входного сигнала, частоты которого лежат в некотором поддиапазоне. Реконструкция сигнала состоит в добавлении нулевых значений, после чего делаются обратные преобразования и их результаты складываются и подаются на выход. Основное преимущество поддиапазонных преобразований состоит в том, что они выделяют различные частоты из входного сигнала, после чего можно точно контролировать часть сохраняемой (и отбрасываемой) информации из каждого поддиапазона частот. На практике такое преобразование разлагает образ на несколько поддиапазонов, отвечающих разным частотным областям данного образа, после чего каждый поддиапазон можно квантовать независимо от остальных поддиапазонов. Рис. 4.22. Общий банк фильтров. Главным недостатком таких преобразований является появление искусственных артефактов (то есть элементов, которых не было в исходном образе, таких как наложения, затухания, «звоны») в реконструированном образе. По этой причине преобразование Хаара не является удовлетворительным, и основные исследования в этой области прежде всего направлены на поиски улучшенных фильтров. На рис. 4.22 изображена общая схема банка фильтров, включающая
|