4.3. Поддиапазонные преобразованияВсе преобразования, которые обсуждались в § 3.5, являются ортогональными, поскольку в их основе лежат ортогональные матрицы. Ортогональное преобразование можно также выразить с помощью скалярного произведения вектора данных (пикселов или звуковых фрагментов) и множества базисных функций. Результатом ортогонального преобразования служат преобразованные коэффициенты, которые можно сжимать с помощью RLE, кодирования Хаффмана или иного метода. Сжатие с потерей осуществляется путем квантования части преобразованных коэффициентов, которое делается до процедуры сжатия. Дискретное скалярное произведение двух векторов
В начале § 3.5 рассматривалось преобразование вида С другой стороны, вейвлетные преобразования являются поддиапазонными преобразованиями. Их можно вычислять с помощью операции свертки исходных данных (будь то пикселы или звуковые фрагменты) и множества фильтров пропускания определенных частот. В результате поддиапазон охватывает некоторую часть полосы частот исходных данных. Слово «свертка» означает совместное сворачивание величин или функций. Дискретная свертка двух векторов
(Операцию свертки можно также определить для функций, но для наших потребностей сжатия данных достаточно будет дискретной свертки). Заметим, что пределы суммирования в формуле (4.3) не указаны точно. Они зависят от размерности векторов Далее в этом параграфе обсуждаются линейные системы. Здесь также объясняется, почему операция свертки задается таким странным способом. Этот математический материал можно пропустить при первом чтении. Для начала рассмотрим интуитивное понятие системы. Система принимает на входе некоторый сигнал и в ответ генерирует некоторый сигнал на выходе. Входные и выходные сигналы могут быть одномерными (функциями времени), двумерными (пространственными функциями двух пространственных координат) или многомерными. Нас будет интересовать связь между входными и выходными сигналами. Мы будем рассматривать только линейные системы, поскольку они очень важны и легко устроены. Линейная система определяется следующим образом. Если входной сигнал Из этого определения в частности следует, что Некоторые линейные системы являются трансляционно-инвариантными. В такой системе, если Полезно иметь некоторую общую формулу для представления линейных систем. Оказывается, что представление вида
является уже достаточно общим для этих целей. Другими словами, достаточно знать функцию
при любых
Вычтем (4.4) из этого уравнения:
Это равенство должно выполняться для любого входного сигнала
Рис. 4.16. Свертка функции Это соотношение определяет интегральную свертку, важную операцию между Свертка имеет несколько важных свойств. Она удовлетворяет свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности по сложению, то есть, имеют место следующие тождества:
На практике непрерывные сигналы преобразуются в дискретные последовательности чисел, поэтому нам также понадобится дискретная свертка. Дискретная свертка двух числовых последовательностей
Если длины последовательностей Пример: Даны две последовательности
Простейшим примером использования свертки является сглаживание или очищение сигналов от шума. Здесь становится ясным, как можно использовать свертку в фильтрах. Имея зашумленный сигнал где Рис. 4.17. Применение свертки при «очищении» функции от шума. «О нет, - сказал Жорж, - это больше чем деньги.» Он обхватил голову ладонями и постарался припомнить что-нибудь еще, кроме денег. Серое вещество в его голове было полно конволюций и извилин, его барабанные перепонки были туго натянуты. Сквозь них проходили только звуки очень высокой частоты.
|