УСРЕДНЕНИЯ ПО НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМ

Отправной точкой предшествующего изложения было предположение о том, что каждому элементу конечного универсального множества ставится в соответствие значение лингвистической вероятности, являющееся компонентой списка значений лингвистических вероятностей .

В данном контексте нечеткое подмножество множества играет роль нечеткого события. Пусть - степень принадлежности подмножеству. Тогда если — обычные вероятности , то вероятность события определяется как (см. [48]) ( арифметическая сумма)

. (7.54)

Естественно обобщить это определение на лингвистические вероятности, определив лингвистическую вероятность события как

, (7.55)

понимая при этом правую часть выражения (7.55) как линейную форму типа (7.27). В связи с выражением (7.55) необходимо отметить, что из ограничения

(7.56)

на рассматриваемые вероятности и того, что

следует, что — нечеткое подмножество интервала [0, 1].

Пример 7.5. Проиллюстрируем сказанное очень простым примером. Предположим, что

, (7.57)

, (7.58)

, (7.59)

, (7.60)

. (7.61)

Тогда ( арифметическая сумма)

(7.62)

при ограничении

. (7.63)

Выбирая такие члены в (7.62), которые удовлетворяют (7.63), получаем

(7.64)

откуда

. (7.65)

выражение (7.65) можно грубо аппроксимировать равенством

. (7.66)

Лингвистическую вероятность нечеткого события, выраженную формулой (7.55), можно рассматривать как частный случай более общего понятия, а именно лингвистического среднего, или, что то же самое, лингвистического математического ожидания функции (определенной на ) по нечеткому подмножеству множества . Более конкретно, пусть — определенная на функция, принимающая действительные значения; пусть — нечеткое подмножество множества , и пусть — лингвистические вероятности, соответствующие . Тогда лингвистическое среднее функции по обозначается как и определяется следующим образом ( арифметическая сумма):

. (7.67)

Рассмотрим следующий конкретный пример выражения (7.67). Предположим, что люди с именами выбираются в соответствии с лингвистическими вероятностями, где - ограничение на . Предположим, что на накладывается штраф в размере , уменьшенном пропорционально степени принадлежности классу . Тогда лингвистический средний (ожидаемый) размер штрафа выражается формулой (7.67).

Замечание 7.6. Отметим, что (7.67) по существу является линейной комбинацией вида (7.27), где

. (7.68)

аким образом, чтобы вычислить (7.67), можно использовать метод, описанный ранее для вычисления линейных форм в лингвистических вероятностях. В частности, следует отметить, что, когда , правая часть (7.67) имеет вид

. (7.69)

сводится к.

Кроме выражения для выражение (7.67) содержит в себе в качестве частных случаев и выражения для других средних, встречающихся в различных приложениях. Среди них существуют два типа, которые можно рассматривать как вырожденные формы (7.67) и которые часто встречаются во многих задачах, представляющих практический интерес. Мы кратко остановимся на этих типах средних и для удобства сформулируем их определения в форме ответов на вопросы.

Вопрос 7.7. Каково число элементов в данном нечетком множестве ? Очевидно, этот вопрос поставлен некорректно, поскольку в случае нечеткого множества не существует четкой границы между принадлежностью и непринадлежностью элемента множеству. Тем не менее понятие мощности нечеткого множества [49], определяемое как

, (7.70)

является естественным обобщением понятия числа элементов .

Для иллюстрации предположим, что — универсальное множество жителей в городе, а — нечеткое множество безработных в этом городе. Если интерпретировать как степень принадлежности человека классу безработных (например, =0.5, если занял половину рабочего времени и ищет работу с полным рабочим днем), то можно интерпретировать как эквивалентное число полностью безработных.

Вопрос 7.8. Предположим, что — функция, принимающая действительные значения и определенная на . Каково среднее значение на нечетком подмножестве множества ?

Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в выражении (7.67). Пусть (обозначает среднее значение функции на . Если бы было обычным (не нечетким) множеством, то выражалось бы формулой

, (7.71)

где обозначает суммирование по тем , которые принадлежат , а — число этих элементов. Чтобы обобщить (7.71) на нечеткие множества, заметим, что (7.71) можно переписать так:

, (7.72)

где — характеристическая функция множества . Тогда (7.72) можно принять в качестве определения для нечеткого множества , если интерпретировать как степень принадлежности множеству . При этом мы приходим к выражению для, которое можно рассматривать как частный случай выражения (7.67).

Проиллюстрируем (7.72) следующим примером. Предположим, что — полное множество жителей в городе и — нечеткое подмножество молодых жителей; кроме того, предположим, что — заработок жителя . Тогда средний заработок молодых жителей города выражается формулой (7.72).

Замечание 7.9. Поскольку выражение для есть линейная форма переменных мощность нечеткого множества типа 2 (см. определение 3.22) можно легко подсчитать методом, которым мы пользовались ранее для вычисления .

В случае , однако, мы имеем дело с отношением линейных форм, и, следовательно, вычисление для нечетких множеств типа 2 представляет собой более трудную отдачу.

Целью предыдущего изложения было показать, что понятие лингвистической переменной служит основой для определения вероятностей и в сочетании с принципом обобщения может быть использовано для вычисления линейных комбинаций разных вероятностей. Мы не будем больше останавливаться в этом вопросе и в последующем изложении обратим внимание на основное правило вывода в нечеткой логике.