ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЛИНГВИСТИЧЕСКИМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ

Во многих приложениях теории вероятностей, например, при вычислении средних значений, дисперсий и т. п., часто встречаются линейные комбинации вида ( арифметическая сумма)

, (7.26)

где — действительные числа, а — значения вероятностей из интервала [0, 1]. Если — числа из интервала [0, 1], то вычисление значения комбинации при заданных и не представляет труда. Однако оно становится нетривиальным, когда рассматриваемые вероятности являются лингвистическими по своей природе, т. е. когда

, (7.27)

где — такие лингвистические значения вероятностей, как правдоподобно, неправдоподобно, очень правдоподобно, близко к и т. п. Соответственно —недействительное число, как в (7.26), а нечеткое подмножество действительной оси, причем функция принадлежности подмножества зависит от функций принадлежности .

В предположении, что нечеткие переменные - невзаимодействующие (не считая ограничения (7.15)), ограничение, обусловленное набором , принимает вид (см. (7.16))

. (7.28)

Пусть - функция принадлежности ограничения и пусть — функция принадлежности ограничения . Тогда, применяя принцип обобщения (3.90) к (7.26), можно выразить в виде нечеткого множества ( арифметическая сумма)

, (7.29)

которое с учетом (7.28) можно записать как

, (7.30)

понимая при этом, что в (7.30) удовлетворяют ограничению

. (7.31)

Таким образом мы можем представить линейную комбинацию значений лингвистических вероятностей нечетким подмножеством действительной оси.

Выражение для можно записать другим более удобным для вычислений способом. Так, пусть обозначает функцию принадлежности множества , причем . Тогда из (7.30) следует, что

(7.32)

при ограничениях

, (7.33)

. (7.34)

В этом случае вычисление сводится к решению задачи нелинейного программирования с линейными ограничениями. Более точно эту задачу можно сформулировать следующим образом: максимизировать при следующих ограничениях ( арифметическая сумма):

(7.35)

Пример 7.4. Проиллюстрируем изложенное следующим очень простым примером. Предположим, что

, (7.36)

, (7.37)

где

(7.38)

. (7.39)

тогда [см. (7.5)]

. (7.40)

Предположим, что мы хотим вычислить математическое ожидание ( арифметическая сумма) вида

. (7.41)

используя (7.23), получаем

(7.42)

при ограничениях

(7.43)

Теперь с учетом (7.40), если , имеем

, (7.44)

и, следовательно, (7.42) сводится к

(7.45)

или, в более явной форме,

. (7.46)

Из этого результата следует, что нечеткость нашего знания вероятности приводит к соответствующей нечеткости математического ожидания (см. рис. 7.2)

Рис. 7.2. Вычисление лингвистического значения переменной .

Если предположить, что универсальное множество значений вероятности есть, то есть выражение для можно получить непосредственно, используя принцип обобщения в форме (3.97). В качестве иллюстрации предположим, что

, (7.47)