Глава 20. ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве
В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики - поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Однако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев.
Прежде всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря,
так и остается моментом силы «в плоскости
», или моментом силы «относительно оси
». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения величины
; если вы вспомните вывод уравнения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто дифференцировали величину
и получали
, так что эта теорема остается верной. Величину
мы называли моментом количества движения в плоскости
, или моментом количества движения относительно оси
. Кроме плоскости
, можно использовать другие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость
.Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим
вместо
, a
вместо
, то для момента силы получим выражение
и
будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость
и получить для нее
.
Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как
, для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плоскостей:
и
, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плоскостях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.
Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказывается, что если мы в комбинации
для «косой» плоскости выразим величины
и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях
и
. В этом нет ничего нового. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях
и
, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комбинации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.
Пусть Джо для своих координатных осей
определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси
по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси
и
. Мик выбрал другие оси
и
, а его ось
осталась той же самой. Это означает, что плоскости
и
у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости
окажется равным
и т. д. Следующая задача - найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно решить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,- скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» - спросите вы. Действительно, он - вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны
(20.1)
В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подобных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать
? Этот вопрос связан с тем обстоятельством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у
, можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:
или 
Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе
(20.2)
Пусть одна система координат повернута на угол
по отношению к другой, так что ось
осталась той же самой. (Угол
ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то происходящим внутри системы координат. Это просто связь между осями, используемыми одним человеком, и осями, используемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоянным.) При этом координаты в двух системах связаны так:
(20.3)
Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как
и
. Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобразуются как
и 
(20.4)
Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо
и
выражение (20.3), а для
и
- выражение (20.4). В результате для
получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению
, которое, как известно, является моментом силы в плоскости
:
(20.5)
Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости
, при этом момент относительно оси
в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для
. Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью
, то получим
(20.6)
И наконец, для плоскости 
(20.7)
Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно запомнить это правило? Если внимательно посмотреть на уравнения (20.5)-(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для
и
существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать
-компонентой чего-то, скажем
-компонентой вектора
, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора
, ибо
-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость
с
-компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость
с
-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:
(20.8)
что в точности соответствует закону преобразования векторов.
Мы, следовательно, доказали, что комбинацию
можно отождествить с тем, что обычно называется
-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.
Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости
, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси
. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат
правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кручением, определяется поступательным движением болта.
Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство - особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент - самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трехмерном пространстве он - вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) дополнительно к трем плоскостям
и
появятся также плоскости
и
. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного вектора невозможно.
Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих математических рассмотрениях совершенно не существенно то, что
- координата, a
- сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты
подставим
-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину
, где
и
- векторы, и назвать ее
-компонентой некоторой новой величины
, то эта величина будет вектором
. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора
с векторами
и
придумать какое-то математическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначением:
. Таким образом, в дополнение к обычному скалярному произведению в векторном анализе мы получили произведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись
это то же самое, что
(20.9)
Если переменить порядок векторов
и
, т. е. вместо
взять
, то знак вектора
при этом изменится, ибо
равно
. Векторное произведение поэтому не похоже на обычное умножение, для которого
. Для векторного произведения
. Отсюда немедленно следует, что если
, то векторное произведение равно нулю, т. е.
.
Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов
и
. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить следующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор
перпендикулярен как к вектору
, так и к вектору
. (Попробуйте вычислить
и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора
оказывается равной произведению абсолютных величин векторов
и
, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор
? Вообразите, что мы доворачиваем вектор
до вектора
в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с правовинтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении вектора
. То, что мы берем правовинтовой болт, а не левовинтовой,- простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов
и
вектор нового типа
по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов
и
, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата
, сила
, импульс
, скорость
, электрическое поле
и т. д. Все это обычные полярные векторы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, могут служить момент силы
и момент импульса
. Кроме того, оказывается, что угловая скорость
, как и магнитное поле
, тоже псевдовектор.
Чтобы расширить наши сведения о математических свойствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпишем все правила с участием векторного произведения. Впоследствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:
(20.10)