§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.

Начнем с  - простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что  - есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали

,                 (18.16)

то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора , если , где  - любое скалярное поле, потому что ротор  - нуль и  - по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)

Теперь разберем закон Фарадея , потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы запишем  как  и продифференцируем по , то сможем переписать закон Фарадея в форме

.

Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

.                 (18.17)

Мы видим, что  - это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было , и мы тогда решили, что  - само градиент чего-то. Пусть это градиент от  (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для ; мы полагаем

.                     (18.18)

Мы используем то же обозначение , так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и  исчезает,  будет нашим старым . Итак, закон Фарадея можно представить в форме

.                     (18.19)

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей  и  нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал  и векторный потенциал , который, разумеется, представляет три функции.

Итак,  определяет часть , так же как и . Что же произойдет, когда мы заменим  на ? В общем,  должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что  изменяется так, чтобы не влиять на поля  и  (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять  и  вместе по правилам

.             (18.20)

Тогда ни , ни , полученные из уравнения (18.19), не меняются.

Раньше мы выбирали , чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.

Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники  и . Раз мы можем определить  и  из токов и зарядов, то можно всегда получить  и  из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.

Начнем с подстановки уравнения (18.19) в ; получаем

;

это можно записать еще в виде

.                        (18.21)

Таково первое уравнение, связывающее  и  с источниками.

Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:

,

а затем выразим  и  через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):

.

Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество ; мы получаем

.             (18.22)

Не очень-то оно простое!

К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции . Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для  и для  разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая

.                    (18.23)

Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:

.                   (18.24)

И наше уравнение (18.21) для  принимает такую же форму:

.                        (18.25)

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились - с плотностью заряда стоит , а с током стоит . Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо - лапласиан вместе с , когда мы раскроем ее, то обнаружим

.               (18.26)

Это уравнение имеет приятную симметрию по , , , ; здесь  нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.

Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов  и , но с одной и той же математической формой для всех четырех функций , ,  и . Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить  и  из  и . Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще.

Фактически мы уже решали уравнение, весьма похожее на (18.26). Когда мы изучали звук в гл. 47 (вып. 4), мы имели уравнение в форме

и видели, что оно описывает распространение волн в -направлении со скоростью . Уравнение (18.26) это соответствующее волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение этих уравнений не означает, что  и  - нули. (Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность  и , которые меняются со временем, но всегда движутся со скоростью . Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере в начале главы.

С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения в терминах  и  в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные уравнения в терминах  и . Но они - по ту сторону горы, на которую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг. Все будет выглядеть иначе - нас ожидают новые, прекрасные пейзажи.