Глава 22. ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА§ 1. ИмпедансыВ основном наши усилия при чтении этих лекций были направлены на то, чтобы получить полные уравнения Максвелла. В предыдущих двух главах мы обсудили следствия этих уравнений. Выяснилось, что они содержат объяснение всех статических явлений, которые мы изучали раньше, и явлений электромагнитных волн и света - вопроса, подробно изучавшегося в самом начале нашего курса. Уравнения Максвелла дают и то и другое, смотря по тому, где эти поля вычисляются: поблизости от токов и зарядов или же вдали от них. Есть и промежуточная область, но о ней ничего интересного сказать нельзя; там никаких особых явлений не происходит. Но в электромагнетизме остается еще несколько вопросов, которые стоит осветить. Надо будет обсудить вопрос связи относительности и уравнений Максвелла, т. е. выяснить, что произойдет, если на уравнения Максвелла посмотреть из движущейся системы координат. Важен еще и вопрос о сохранении энергии в электромагнитных системах. Кроме того, существует обширная область электромагнитных свойств материалов; до сих пор мы рассматривали только электромагнитные поля в пустом пространстве, если не считать изучения свойств диэлектриков. Да и при изучении света все еще оставалось несколько вопросов, которые хотелось бы рассмотреть еще раз с точки зрения уравнений поля. В частности, надо бы еще раз вернуться к вопросу о показателе преломления (особенно у плотных веществ). Наконец, интересны явления, связанные с волнами, заключенными внутри ограниченной области пространства. Мы кратко коснулись этой проблемы, когда изучали звуковые волны. Но уравнения Максвелла тоже приводят к решениям, которые представляют волны электрических и магнитных полей, замкнутые в некотором объеме. В одной из последующих глав мы рассмотрим этот вопрос, имеющий важные технические применения. И чтобы подойти к нему, мы начнем с того, что изложим свойства электрических цепей при низких частотах. После этого мы сможем сравнить такие системы, когда к уравнениям Максвелла применимо почти статическое приближение, и системы, в которых преобладают высокочастотные эффекты. Итак, снизойдем с величественных и труднодоступных высот последних нескольких глав и обратим свой взор на сравнительно низменную задачу - задачу об электрических цепях. Впрочем, мы убедимся в том, что даже столь мирские дела оказываются весьма запутанными, если в них вникнуть достаточно глубоко. В гл. 23 и 25 (вып. 2) мы уже обсуждали некоторые свойства электрических цепей (контуров). Теперь мы повторим часть изложенного там материала, но более подробно. Мы по-прежнему будем иметь дело с линейными системами и с напряжениями и токами, которые меняются синусоидально; поэтому мы можем представить все напряжения и токи в виде комплексных чисел, пользуясь экспоненциальными обозначениями, введенными в гл. 22 (вып. 2). Так, меняющееся во времени напряжение
где Подобным же образом и все другие меняющиеся во времени величины будут считаться изменяющимися синусоидально с той же частотой
и т. д. Большей частью мы будем писать уравнения, пользуясь обозначениями В прежних наших рассуждениях об электрических цепях мы полагали, что такие вещи, как индуктивность, емкость и сопротивление, вам знакомы. Сейчас мы немного подробнее объясним, что понимают под этими идеализированными элементами схем. Начнем с индуктивности. Индуктивность - это навитая в несколько рядов проволока в форме катушки, два конца которой выведены к зажимам на некотором расстоянии от катушки (фиг. 22.1). Предположим, что магнитное поле, создаваемое токами в катушке, не очень распространяется на все пространство и не воздействует на другие части цепи. Обычно этого добиваются, придав катушке форму лепешки или намотав ее на подходящий железный сердечник (это сжимает магнитное поле); можно еще поместить катушку внутрь металлической коробочки: схематически это показано на фиг. 22.1. В любом случае предполагается, что во внешней области у зажимов Фиг. 22.1. Индуктивность. С учетом всех этих приближений и возникает то, что называют «идеальной» индуктивностью. (Позже мы вернемся к этому пункту и поговорим о том, что бывает в реальных индуктивностях.) Про идеальную индуктивность говорят, что напряжение на ее зажимах равно
Как мы уже выяснили раньше, внутри идеального проводника электрических полей существовать не может. (Малейшие поля вызвали бы бесконечно большие токи.) Поэтому интеграл от зажима
Полный интеграл по контуру - это то, что мы раньше называли э. д. с.
где
Тот способ, которым мы описали идеальную индуктивность, иллюстрирует общий подход к другим идеальным элементам цепи - обычно их называют «сосредоточенными» элементами. Свойства элемента полностью описываются на языке токов и напряжений, возникающих на его зажимах. Прибегнув к подходящим приближениям, можно игнорировать огромную сложность тех полей, которые возникают внутри объекта. То, что происходит внутри, отделяется от того, что происходит снаружи. Для всех элементов цепи мы намерены сейчас найти соотношения, подобные формуле (22.4). В ней напряжение пропорционально силе тока с константой пропорциональности, которая, вообще говоря, есть комплексное число. Этот комплексный коэффициент пропорциональности называется импедансом, и его привыкли обозначать через
Для индуктивности мы имеем
Рассмотрим с этой точки зрения емкость. Она состоит из двух проводящих пластин (обкладок), от которых к нужным зажимам отходят два провода. Пластины могут быть любой формы и часто отделяются друг от друга каким-нибудь диэлектриком. Это схематически изображено на фиг. 22.2. Мы снова делаем несколько упрощающих предположений. Мы считаем, что пластины и провода - идеальные проводники, а изоляция между пластинами тоже идеальна, так что через нее никакие заряды с пластины на пластину перейти не могут. Затем мы предполагаем, что проводники находятся близко друг от друга, но зато значительно удалены ото всех остальных проводников, так что все линии поля, выйдя из одной пластины, непременно оканчиваются на другой. И тогда заряды на пластинах всегда равны и противоположны друг другу, причем по величине намного превосходят величину заряда на поверхности проводов. И наконец, мы считаем, что поблизости от конденсатора магнитных полей нет. Фиг. 22.2. Емкость (или конденсатор). Рассмотрим теперь контурный интеграл от
Интеграл вдоль проводов равен нулю, потому что внутри идеальных проводников электрического поля не бывает. Интеграл от зажима
Электрический ток
или
Тогда импеданс
Третий элемент, который нужно рассмотреть, - это сопротивление. Но, поскольку мы пока еще не рассматривали электрических свойств реальных веществ, мы не готовы обсуждать то, что творится внутри реального проводника. Придется просто принять как факт, что внутри реальных веществ могут существовать электрические поля, что эти поля порождают поток электрического заряда (т. е. ток) и что этот ток пропорционален интегралу электрического поля от одного конца проводника до другого. Затем надо представить себе идеальное сопротивление, сделанное так, как показано на фиг. 22.3. Два провода, которые мы считаем идеальными проводниками, тянутся от клемм
где
Фиг. 22.3. Сопротивление. Результаты наших рассуждений о трех сосредоточенных элементах цепи - индуктивности, емкости, сопротивлении - подытожены фиг. 22.4. На этом рисунке, как и на предыдущих, напряжение отмечено стрелкой, направленной от одной клеммы к другой. Если напряжение «положительно», т. е. если на клемме Фиг. 22.4. Идеальные сосредоточенные элементы цепи (пассивные). Хотя мы сейчас говорим о переменных токах, конечно, можно включить сюда и особый случай цепей постоянного тока, если перейти к пределу, когда частота В описанных до сих пор элементах цепи ток и напряжение были пропорциональны друг другу. Если одно равно нулю, то и другое равно нулю. Обычно мы мыслим на таком языке: приложенное напряжение «ответственно» за ток или ток «создает» напряжение на клеммах. Элемент словно в некотором смысле «отвечает» на «приложенные» внешние условия. По этой причине такие элементы называются пассивными. Тем самым их можно противопоставить активным элементам, таким, как генераторы, которые мы рассмотрим в следующем параграфе и которые представляют собой источники колебаний токов или напряжений в цепи.
|