§ 4. Скорость волн в волноводе
Та скорость волн, о которой мы пока говорили, - это фазовая скорость, т. е. скорость узлов волны; она есть функция частоты. Если подставить (24.17) в (24.18), то можно написать
. (24.25)
Для частот выше граничной (для которых бегущая волна существует)
меньше единицы,
- действительное число, большее скорости света. Мы уже видели в гл. 48 (вып. 4), что фазовые скорости, большие скорости света, возможны, потому что это просто движутся узлы волн, а не энергия и не информация. Чтобы узнать, как быстро движутся сигналы, надо подсчитать быстроту всплесков или модуляций, вызываемых интерференцией волн одной частоты с одной или несколькими волнами слегка иных частот [см. гл. 48 (вып. 4)]. Скорость огибающей такой группы волн мы назвали волновой скоростью; это не
, a
:
. (24.26)
Дифференцируя (24.17) по
и переворачивая, чтобы получить
, получаем
. (24.27)
Это меньше скорости света.
Среднее геометрическое между
и
в точности равно
- скорости света:
. (24.28)
Это любопытно, ведь сходное соотношение мы встречали и в квантовой механике. У частицы с любой скоростью (даже у релятивистской) импульс
и энергия
связаны соотношением
. (24.29)
Но в квантовой механике энергия - это
, а импульс - это
, или
; значит, (24.29) можно записать так:
, (24.30)
или
, (24.31)
а это очень похоже на (24.17)... Интересно, не правда ли?
Групповая скорость волн - это также скорость, с какой энергия передается по трубе. Если вам нужно найти поток энергии сквозь волновод, надо умножить плотность энергии на групповую скорость. Если среднее квадратичное электрическое поле равно
, то средняя плотность электрической энергии равна
. Кроме этого, часть энергии связана с магнитным полем. Мы не будем здесь это доказывать, но в любой полости или трубе магнитная и электрическая энергии равны между собой, так что полная плотность электромагнитной энергии равна
. А мощность
, передаваемая волноводом, поэтому равна
. (24.32)
(Позже мы рассмотрим другой, более общий способ вычисления потока энергии.)