§ 3. Граничная частота
Уравнение (24.16) для
на самом деле имеет два корня - один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:
. (24.20)
Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении
), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно могут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.
Наше уравнение для
сообщает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям
, т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших
величина
не станет равной
- тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью
. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота
станет чересчур малой, то под корнем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда
перевалит через
или когда
станет больше
. Иначе говоря, когда частота становится меньше некоторой критической частоты
, волновое число
(а также
) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что
должно быть действительным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые
тоже представляют какую-то волну?
Предположим, что
действительно меньше
; тогда можно написать
, (24.21)
где
- действительное положительное число:
. (24.22)
Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для
, то надо будет написать
, (24.23)
что можно также представить в виде
. (24.24)
Это выражение приводит к полю
, которое во времени колеблется как
, а по
меняется как
. Оно плавно убывает или возрастает с
, как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при
должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.
Итак, при частотах ниже
волны вдоль трубы не распространяются; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка
. По этой причине частоту
называют «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы видим, что для частот чуть пониже
число
мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если
намного меньше
, коэффициент
в экспоненте равняется
, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в
раз на расстоянии
, т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.

Фиг. 24.7. Изменение
с ростом
при
.
Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту нашего анализа прохождения волн по трубе - появление мнимого волнового числа
. Когда, решая уравнение в физике, мы получаем мнимое число, то это обычно ничего физического не означает. Для волн, однако, мнимое волновое число действительно нечто означает. Волновое уравнение по-прежнему удовлетворяется; оно только означает, что решение приводит к экспоненциально убывающему полю вместо распространяющихся волн. Итак, если в любой задаче на волны
при какой-то частоте становится мнимым, это означает, что форма волны меняется - синусоида переходит в экспоненту.