§ 2. Скалярное произведениеТо, что расстояние от некоторой точки до начала координат не изменяется при повороте, если хотите, - счастливая случайность. Математически это означает, что
Возникает вопрос: существует ли подобная величина, которая инвариантна при преобразованиях Лоренца? Да, существует. Из (25.1) вы видите, что
Она была бы всем хороша, если бы только не зависела от нашего выбора оси
Она является инвариантом так называемой «полной группы Лоренца», которая включает как перемещения с постоянной скоростью, так и повороты. Далее, поскольку эта инвариантность представляет собой алгебраическое свойство, зависящее только от правил преобразования (25.1) плюс вращение, то она справедлива для любого четырехвектора. (Все они, по определению, преобразуются одинаковым образом.) Так что для любого четырехвектора
Эту величину мы будем называть квадратом «длины» четырехвектора Если теперь у нас есть два вектора также будет инвариантной (скалярной) величиной. (Фактически мы доказали это уже в гл. 17, вып. 2.) Получилась величина, совершенно аналогичная скалярному произведению векторов. Мы так и будем называть ее скалярным произведением двух четырехвекторов. Логично, казалось бы, и записывать его И мы тоже будем придерживаться этого порядка и записывать скалярное произведение просто
Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо
Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) представляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:
Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как
Но иногда удобно эту величину записать как
Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (
Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с покоящимся протоном (например, с помещенной в пучок водородной мишенью), и если падающий протон обладает достаточной энергией, то вдобавок к двум первоначальным протонам может родиться пара протон-антипротон. Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной? Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в системе центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1). Назовем падающий протон протоном Фиг. 25.1. Реакция Предполагается, что энергия падающего протона как раз достаточна для протекания реакции. Протоны обозначены черными кружочками, а антипротоны - белыми. Пусть и
а комбинируя эти два выражения, можно написать
Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы получили уравнение для четырехвекторов, то оно должно выполняться в любой инерциальной системе. Этим фактом можно воспользоваться для упрощения вычислений. Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е.
Так как Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид
Произведения
Это можно доказать прямыми вычислениями или, несколько более эффектно, простым замечанием, что в системе покоя частицы или
Теперь можно вычислить
Полная энергия падающего протона должна быть по меньшей мере равна Скалярное произведение - инвариант, поэтому полезно знать его величину. Что, например, можно сказать о «длине» четырехвектора скорости
т. е.
|