§ 3. Четырехмерный градиентСледующей величиной, которую нам следует обсудить, является четырехмерный аналог градиента. Напомним (см. гл. 14, вып. 1), что три оператора дифференцирования Чтобы обнаружить ошибку, рассмотрим скалярную функцию, которая зависит только от
С другой стороны, с точки зрения движущегося наблюдателя
Используя уравнение (25.1), мы можем выразить
Таким образом,
Сравнивая этот результат с (25.13), мы узнаем, что
Аналогичные вычисления дают
Теперь вы видите, что градиент получился довольно странным. Выражения для
Именно так должен преобразовываться четырехвектор. Но в уравнениях (25.14) и (25.15) знаки получились неправильными! Выход в том, что надо заменить неправильное определение четырехмерного оператора градиента
Мы его обозначим Итак, все уладилось. Теперь у нас есть векторы, градиенты и скалярное произведение. Следующий на очереди - инвариант, аналогичный дивергенции в трехмерном векторном анализе. Ясно, что аналогом его должно быть выражение
где Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, § 7, вып. 5), что плотность электрического заряда
Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля. Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора
Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами,
Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму закона сохранения заряда:
Благодаря тому что В качестве последнего примера рассмотрим скалярное произведение оператора градиента
Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения, находим
Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиана, называется даламбертианом и обозначается специальным символом
По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. [Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) знаком, так что при чтении литературы будьте внимательны!] Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл. 25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит. Таблица 25.2 ВАЖНЕЙШИЕ ВЕЛИЧИНЫ ТРЕХМЕРНОГО И ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
|