§ 2. Преобразование компонент тензора
Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми
,
и
компоненты вектора
,
,
тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами
, так что для разных систем координат коэффициенты оказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изменяться
при надлежащем изменении компонент
и
, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в новой системе координат, мы должны получить ту же самую поляризацию
. Для любой новой системы координат
будет линейной комбинацией
,
и
:
,
и аналогично для других компонент. Если вместо
,
и
подставить их выражения через
согласно (34.4), то получится
.
Теперь напишите, как выражается
,
и
через
,
и
, например,
,
где числа
,
и
связаны с числами
,
и
, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение
через компоненты
,
и
, т. е. получились новые
. Никаких хитростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.
Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то
не изменяются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориентацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов
. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристалла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости
в любой произвольно выбранной системе координат. Точно так же как вектор скорости
можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменяться некоторым определенным образом, тензор поляризуемости
, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, можно связать с кристаллом.
Связь между
и
в уравнении (31.4) можно записать в более компактном виде:
, (31.5)
где под значком
понимается какая-то из трех букв
,
или
, а суммирование ведется по
и
. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из таких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы
в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае
), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.