§ 4. Другие тензоры; тензор инерции
В физике есть еще немало других примеров тензоров. В металле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока
приблизительно пропорциональна электрическому полю
, причем константа пропорциональности называется проводимостью
:
.
Однако для кристалла соотношение между
и
более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем
.
Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения
твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости
, и коэффициент пропорциональности
мы назвали моментом инерции:
.
Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость
и момент количества движения
- оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления
и
, вообще говоря, не совпадают (фиг. 31.4). Они связаны точно таким же образом, как
и
, т. е. мы должны писать:
(31.16)
Девять коэффициентов
называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кинетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент
,
и
:
. (31.17)
Мы можем снова воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е.
.

Фиг. 31.4. Момент количества движения
твердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости
.
Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой
и скоростью
обладает кинетической энергией
, а полная кинетическая энергия равна просто сумме

по всем частицам тела. Но скорость
каждой частицы связана с угловой скоростью
твердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом
- положение частицы относительно центра масс, то ее скорость
задается выражением
. Поэтому полная кинетическая энергия равна
. (31.18)
Единственное, что нужно теперь сделать, - это переписать
через компоненты
,
,
и координаты
,
,
, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем
. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:

Умножая это уравнение на
, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что
, например, равно
.
Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси
, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).
Ну а поскольку
, то эту же формулу можно написать в виде
.
Выписав остальные члены тензора инерции, получим
. (31.19)
Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:
, (31.20)
где через
обозначены компоненты
вектора положения частицы, а
означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения
с угловой скоростью
:
. (31.21)
Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.