§ 7. Тензоры высших рангов
Тензор напряжений
описывает внутренние силы в веществе. Если при этом материал упругий, то внутренние деформации удобно описывать с помощью другого тензора
- так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, подобного бруску из металла, изменение длины
, как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется закону Гука
.
Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций
связан с тензором напряжений
системой линейных уравнений
. (31.26)
Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна
,
а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение
. (31.27)
Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами
. Это знакомит нас с новым зверем - тензором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений -
,
или
, то всего оказывается
коэффициент. Но различны из них на самом деле только 21. Во-первых, поскольку тензор
симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 различных коэффициентов. Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить
и
, так что
должно быть симметрично при перестановке пары индексов
и
. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшей возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.
В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты
не должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры
. Но существует лишь два возможных выражения, имеющих требуемую симметрию, - это
и
, так что
должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала
;
следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, требуются две постоянные:
и
. Я предоставляю вам самим доказать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные.
И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При напряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид
,
где
- электрическое поле, a
- пьезоэлектрические коэффициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены
), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.