§ 8. Четырехмерный тензор электромагнитного импульса
Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства при пространственных поворотах. А вот в гл. 26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном пространстве-времени: это был тензор электромагнитного поля
. Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, правда, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Лоренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «пространстве», называемом пространством Минковского; тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.)
В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть другой тензор в четырех измерениях
теории относительности. Когда мы говорили о тензоре напряжений, то определяли
как компоненту силы, действующую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «
- это
-компонента силы, действующей на единичную площадку, перпендикулярную оси
», мы с равным правом могли бы сказать: «
- это скорость потока
-компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси
». Другими словами, каждый член
представляет поток
-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси
. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «большего» тензора
в четырехмерном пространстве (
и
), содержащего еще дополнительные компоненты
,
,
и т. п. Попытаемся теперь выяснить физический смысл этих дополнительных компонент.
Нам известно, что пространственные компоненты представляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временное направление», обратимся к «потоку» другого рода - потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичную площадь, перпендикулярную потоку), является пространственным вектором - вектором плотности тока
. Мы видели, что временная компонента вектора потока - это плотность текущего вещества. Например,
можно скомбинировать с плотностью заряда
и получить четырехвектор
, т. е. значок
у вектора
принимает четыре значения:
. Это означает «плотность», «скорость потока в
-направлении», «скорость потока в
-направлении» и «скорость потока в
-направлении» скалярного заряда.
Теперь по аналогии с нашим утверждением о временной компоненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе с
,
и
, описывающими поток
-компоненты импульса, должна быть и временная компонента
, которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е.
должна быть плотностью
-компоненты импульса. Таким образом, мы можем расширить наш тензор по горизонтали, включив в него
-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются:
- плотность
-компоненты импульса,
- поток
-компоненты импульса в направлении оси
,
- поток
-компоненты импульса в направлении оси
,
- поток
-компоненты импульса в направлении оси
.
Аналогичная вещь происходит и с
-компонентой; у нас есть три компоненты потока:
,
и
, к которым нужно добавить четвертый член:
- плотность
-компоненты импульса,
а к трем компонентам
,
и
мы добавляем
- плотность
-компоненты импульса.
В четырехмерном пространстве у импульса существует также и
-компонента, которой, как мы знаем, является энергия. Так что тензор
следует продолжить по вертикали с включением в него
,
и
, причем
(31.28)
т. е.
- это поток энергии в единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярную оси
, и т. д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина
, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного тензора энергии-импульса
. Индекс
может принимать четыре значения:
,
,
и
, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси
», «поток через единичную площадь в направлении оси
» и «поток через единичную площадь в направлении оси
». Значок
тоже принимает четыре значения:
,
,
,
, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», «
-компонента импульса», «
-компонента импульса» или же «
-компонента импульса».
В качестве примера рассмотрим этот тензор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем. Вы знаете, что поток энергии электромагнитного поля описывается вектором Пойнтинга
. Так что
-,
- и
-компоненты вектора
с релятивистской точки зрения являются компонентами
,
и
нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тензора
переносится и на временные компоненты, так что четырехмерный тензор
тоже симметричен:
. (31.29)
Другими словами, компоненты
,
,
, которые представляют плотности
-,
- и
-компонент импульса, равны также
-,
- и
-компонентам вектора Пойнтинга
, или, как мы видели раньше из других соображений, вектора потока энергии.
Оставшиеся компоненты тензора электромагнитного напряжения
тоже можно выразить через электрическое и магнитное поля
и
. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, потока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып. 6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы не входили в детали.
Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмерных тензорах, может понравиться выражение для тензора
через поля:
,
где суммирование по
и
проводится по всем их значениям (т. е.
,
,
и
), но, как обычно в теории относительности, для суммы
и символа
принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками
,
,
должны вычитаться, а
, тогда как
и
для всех
. Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии
и вектору Пойнтинга
? Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда
, главная ось напряжения направлена по электрическому полю и вдоль направления поля возникает натяжение
и равное ему давление в направлении, перпендикулярном направлению поля?