§ 3. Волны в диэлектрике
Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электромагнитные волны могут существовать в диэлектрическом веществе, где других зарядов, кроме тех, что связаны в атомах, нет. Таким образом, мы возьмем
и
. При этом уравнения Максвелла примут такой вид:
(32.19)
Мы можем решить эти уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операции ротора:
.
Используя затем векторное тождество

и подставляя выражение для
из (32.196), получаем
.
Используя уравнение (32.19а) для
, находим
. (32.20)
Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь получили, что даламбертиан
равен двум членам, содержащим поляризацию
.
Однако
зависит от
, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропными диэлектриками, т. е.
всегда будет иметь то же направление, что и
. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси
. Электрическое поле при этом будет изменяться как
. Предположим также, что волна поляризована в направлении оси
, т. е. что электрическое поле имеет только
-компоненту. Все это записывается следующим образом:
. (32.21)
Вы знаете, что любая функция от
представляет волну, бегущую со скоростью
. Показатель экспоненты в выражении (32.21) можно переписать в виде
,
так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая скорость которой равна
.
В гл. 31 (вып. 3) показатель преломления
определялся нами из формулы
.
С учетом этой формулы (32.21) приобретает вид
.
Таким образом, показатель
можно определить, если мы найдем ту величину
, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и затем воспользуемся соотношением
. (32.22)
В изотропном материале поляризация будет иметь только
-компоненту; кроме того,
не изменяется с изменением координаты
, поэтому
и мы сразу же избавляемся от первого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому
будет изменяться как
и
. Лапласиан же в уравнении (32.20) превращается просто в
, так что в результате получаем
. (32.23)
Теперь на минуту предположим, что раз
изменяется синусоидально, то
можно считать пропорциональной
, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположению и обсудим его.) Таким образом, пишем
.
При этом
выпадает из уравнения (32.23), и мы находим
. (32.24)
Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом
, задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравнениям поля. Использование же выражения (32.22) для показателя
дает
. (32.25)
Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для показателя преломления газа (гл. 31, вып. 3).Там мы нашли уравнение (31.19), которое тогда имело вид
. (32.26)
Формула (32.25) после подстановки
из (32.6) дает
. (32.27)
Что здесь нового? Во-первых, появился новый член
, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилляторах. Во-вторых, слева вместо
теперь стоит
и, кроме того, отсутствует дополнительный множитель 1/2. Но заметьте, что если значение
достаточно мало, так что
близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит, что
равен единице плюс некое малое число, т. е.
. При этом условии мы можем написать, что
, и оба выражения оказываются эквивалентными. Таким образом, наш новый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат.
Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Во-первых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поляризованное поле, действующее на каждый из атомов, - это поле
. Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с
. Аналогичную задачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл. 11, вып. 5). Вы, вероятно, помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом; представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем
на величину
. (Не забудьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для изотропного материала, а также в случае кубического кристалла.)
Те же рассуждения верны и для электрического поля в волне, но до тех пор, пока длина ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении
. (32.28)
Именно это локальное поле следует использовать вместо
в (32.8), т. е. это выражение должно быть переписано следующим образом:
. (32.29)
Подставляя теперь
из формулы (32.28), находим
,
или
. (32.30)
Иными словами,
для плотного материала все еще пропорциональна
(для синусоидального поля). Однако константа пропорциональности будет уже
, а не
, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25):
. (32.31)
Более удобно переписать это в виде
, (32.32)
который алгебраически эквивалентен прежнему. Это и есть известная формула Клаузиуса-Моссотти.
В плотном материале возникает и другое усложнение. Поскольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимодействуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцилляции изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций размазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень большим. Таким образом, все
и
твердого вещества будут другими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять
, по крайней мере приближенно, уравнением (32.7), так что
. (32.33)
Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная
будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточности приближения локального поля в упорядоченных кристаллах, т. е. выражения (32.28) - эффекты, которые мы обсуждали при разборе сегнетоэлектриков]. Обозначая через
число атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей:
, (32.34)
где каждая
будет определяться выражением типа (32.7). Выражение (32.34) завершает нашу теорию показателя преломления. Величина
задается комплексной функцией частоты, каковой является средняя атомная поляризуемость
. Точное вычисление
(т. е. нахождение
,
и
) для плотного вещества - одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ.