5.1. Понятие вектора.
В этом параграфе мы будем рассматривать реальное пространство. Понятие вектора в реальном пространстве читателю известно из элементарной геометрии.
Вектором (в реальном пространстве) называется направленный отрезок
с начальной точкой
и конечной точкой
, который можно передвигать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка
и
, имеющие равные длины (
) и одно и то же направление, определяют один и тот же вектор
, и в этом смысле пишут
(рис. 2).
Длиной
вектора
называется число (неотрицательное), равное длине отрезка
, соединяющего точки
и
. Будем также писать
.

Рис. 2
Векторы, лежащие на одной пряной или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Если точки
и
совпадают, то
считают тоже вектором – нулевым вектором. Его длина равна нулю (
), а направление для него не имеет смысла. В геометрии рассматривают сложение и вычитание векторов и умножение их на действительные числа. По определению произведение
вектора
на число
или числа
на вектор
есть вектор, длина которого равна
, а направление совпадает с
, если
, или противоположно
, если
. При
длина
равна нулю и вектор
превращается в нулевой вектор (точку), не имеющий направления.
Вектор е называется единичным, если его длина равна 1, т. е.
. Если
и
- единичный вектор, то
, потому что
.
По определению векторы
взятые в конечном числе, складываются по правилу замыкания цепочки этих векторов. Рис. 3 и 4 напоминают нам, как это делается. На рис. 5 показано, кроме того, как вычитаются векторы.

Рис.3 Рис.4 Рис.5