5.2. Проекция вектора.
Проекцией точки
на прямую
(рис. 6) называется точка
, в которой пересекаются прямая
с плоскостью, перпендикулярной к
, проходящей через точку
.

Рис. 6 Рис. 7
Зададим направленную прямую
(рис. 7) и вектор
. Проекцией, вектора
на направленную прямую
называется вектор
, где
- соответственно проекции точек
,
на
(см. рис. 7).
Проекцию вектора
на направленную прямую
будем обозначать символом
.
При данной направленной прямой
проекции
любых векторов
на
лежат в
и направлены, как
, либо - в противоположную сторону.
Впрочем, если вектор
нулевой или перпендикулярен к
, то его проекция на
есть, очевидно, нулевой вектор, не имеющий направления.
Наряду с проекцией вектора
на направленную прямую
, которая представляет собой вектор, введем еще новое понятие — числовую проекцию вектора
на направленную прямую
. Это есть число, обозначаемое нами символом
(без стрелки) и определяемое следующим образом.
Числовой проекцией вектора
на направленную прямую
называется произведение длины вектора
на косинус угла
между вектором
и направлением
:
.
Отметим следующие случаи: если
или если
, то
; если
и
, то числовая проекция положительна (
) и равна, очевидно, длине вектора
:
; при этом сам вектор
направлен так же, как
; если же
и
, то числовая проекция отрицательна (
) и равна, очевидно, длине вектора
, взятой со знаком минус:
,
при этом сам вектор
направлен в сторону, противоположную
.
Справедливо очевидное равенство, выражающее связь между проекцией вектора
на направление
и его числовой проекцией на
:
.
Здесь
- единичный вектор, направленный, как
.
Если векторы
и
лежат на направленной прямой
, то их можно записать в виде
,
,
где
- единичный вектор, направленный так же, как
, а
и
- числа. Эти числа могут быть положительными, отрицательными или нулем.
Справедливы очевидные равенства
, (1)
показывающие, что сложение и вычитание указанных векторов сводится к сложению или вычитанию соответствующих чисел
,
.