§6. n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение
6.1. n-мерное пространство.
Множество всевозможных систем
действительных (комплексных) чисел называется n-мерным действительным (комплексным) пространством и обозначается через
. Каждую систему мы будем обозначать одной (жирной) буквой без индекса:

и называть точкой или вектором
(пространства
). Числа
называют координатами точки (вектора)
или еще компонентами вектора
.
Две точки

считаются равными, если их соответствующие координаты равны
.
В других случаях
и
различны
.
Системы (векторы)
,
можно складывать, вычитать и умножать на числа
- действительные, если
есть действительное пространство, и комплексные, ели
- комплексное пространство.
По определению суммой векторов
и
называется вектор
, (1)
а разностью - вектор
. (2)
Произведением же числа
на вектор
или вектора
на число
называется вектор
.
Наконец, вектор
определяется равенством
.
Вводится еще понятие нулевого вектора, компоненты которого равны нулю:
.
Очевидно, выполняются свойства:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
где
- числа, а
,
.
Пространство
называется линейным пространством, потому что для него выполняются перечисленные выше свойства 1) – 8), см. ниже замечание 1.
Число (неотрицательное)
(3)
называется длиной или нормой вектора
в пространстве
.
Расстояние между точками
и
действительного пространства
определяется по формуле
. (4)