6.3 Скалярное произведение в комплексном пространстве Rn.
Скалярным произведением двух векторов
и
в комплексном пространстве
называется число
, (5')
где
есть комплексное число, сопряженное к числу
(по определению, если
, где
и
действительные, то
).
Скалярное произведение в комплексном пространстве обладает свойствами:
а')
; при этом равенство нулю имеет место тогда и только тогда, когда
,
б')
,
в')
.
В самом деле,
,
и равенство может быть, лишь если
. Далее,
.
Здесь мы воспользовались свойствами операции сопряжения
и
. Наконец,

В комплексном пространстве
длина вектора
определяется при помощи равенства
, (3')
а расстояние между точками
и 
(4')
Легко видеть, что при действительных
,
выражения (3) и (4) являются частными случаями выражений (3'), (4').
Пространство
(действительное или комплексное), в котором введено понятие скалярного произведения по формуле (5) (соответственно (5')), называется евклидовым n-мерным пространством.