6.5. Неравенство Минковского.
Отметим важное неравенство (Минковского)
, (9)
или на языке компонент
(10)
Его можно доказать так:
.
Используя неравенство Буняковского (6), имеем:
,
откуда следует (9). Из (9) следует неравенство
, (11)
потому что

Задача. Найти угол между векторами (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1).
Замечание 1. Произвольное множество
, состоящее из элементов
любой природы, называется линейным пространством, если существует закон, в силу которого для любых двух элементов
определены
и
, называемые соответственно суммой, разностью
и
, и для любого действительного или комплексного числа
и элемента
определен элемент
, называемый произведением
на
или
на
, так что выполняются перечисленные выше в этом параграфе свойства 1) - 8), где
, и
,
.
можно рассматривать как пример линейного пространства, но существуют и другие интересные примеры. Например, совокупность
непрерывных на отрезке
функций
если считать, что
,
,
определены соответственно как
,
,
, есть линейное пространство.
Линейное пространство с умножением его элементов на действительные (комплексные) числа называется действителъным (комплексным) линейным пространством.
Замечание 2. Если в каком-либо линейном пространстве
каждым двум его элементам
,
приведено в соответствие число
, удовлетворяющее сформулированным выше свойствам а), б), в) в действительном случае и а'), б'), в') в комплексном случае, то говорят, что в
введено скалярное произведение.
Выше было дано определение n-мерного евклидова пространства — это пространство
, в котором определено скалярное произведение по формулам соответственно (5) или (5').