§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении
Зададим произвольные точки
и введем множество точек (векторов):
, (1)
определяемых неотрицательными числами
, сумма которых равна 1. Имеем
(2)
или
. (2')

Рис. 11
Из равенства (2) видно, что в трехмерном пространстве точки
заполняют отрезок, соединяющий
и
. Ведь радиус-вектор
есть сумма вектора
и вектора
, коллинеарного с
(рис. 11). Таким образом, множество точек (1) представляет собой отрезок
в
, соединяющий точки
и
. При
при
, для любого 
есть произвольная точка
.
По определению отрезком
, соединяющим точки
, называется множеством всех точек
вида (1). Справедлива
Теорема1. Точка

делит отрезок
, соединяющий точки
на отрезки с длинами, находящимися в отношении
.
Доказательство. Из (2) следует, что
, и потому расстояние между точками
и
равно
(3)
Далее, из (2')
, и потому расстояние между точками
и
равно
. (4)
Из (3) и (4) следует
,
что и требовалось доказать.
Задача. Требуется найти на отрезке
, соединяющем точки
, точку
, делящую этот отрезок в отношении
.
Решение. Возьмем числа
,
.
Они удовлетворяют свойствам
. Поэтому на основании теоремы 1 искомая точка
. (5)
Ее координаты
выражаются через координаты
,
при помощи равенств
. (5')
В частности, середина отрезка получается при
,
, т. е.
.
Отметим, что, как доказывается в механике, точка
, определяемая равенством (5) или (5'), есть центр тяжести системы точек
и
, в которых сконцентрированы массы соответственно
и
.
Отметим, что в
, множество точек
,
где
и
любого знака представляет собой прямую, проходящую через точки
и
. Это видно из равенства (2’).
В пространстве же
это множество называют прямой по определению.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести системы материальных точек
соответственно с массами
. Применяя формулы (5') для точек
,
найдем центр тяжести
точек
и
. Затем находим центр тяжести
точек
и
cоответственно с массами
и
. Продолжая этот процесс на
-м шаге, получаем
.