§ 8. Прямая линия
Понятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.
В плоскости зададим прямоугольную систему координат
,
и прямую
, не параллельную оси
(рис. 12).

Рис.12
Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой
имеет вид
, (1)
где
и
- угол, образованный прямой
с положительным направлением оси
, а
- ордината точки пересечения
с осью
.
Когда говорят, что уравнение (1) есть уравнение прямой
, этим хотят выразить, что
есть геометрическое место точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению (1). Справедливость этого утверждения легко усмотреть из рис. 12. Точка
есть произвольная (текущая) точка прямой
, имеющая координаты
,
и
, (1')
откуда следует (1). Обратно, равенство (1) эквивалентно равенству (1'), а последнее выражает, очевидно, тот факт, что точка
лежит на прямой
. На рис. 12 угол
острый. В случае тупого угла
можно провести подобные рассуждения.
Зададим уравнение
, (2)
где
,
,
- заданные числа и к тому же
и
одновременно не равны нулю.
Если
, то уравнение (2) можно записать в следующем виде:
(2')
или, полагая
, 
в виде (1). Так как уравнения (2) и (2') эквивалентны - любая точка
, удовлетворяющая одному из них, удовлетворяет и другому, - то равенство (2) при
есть уравнение прямой, наклоненной к положительному направлению оси
под углом
, тангенс которого равен
, и пересекающей ось
в точке, имеющей ординату
. При
уравнение (2) принимает вид
,
или
.
Это тоже уравнение прямой, но только параллельной оси
. Именно, это есть геометрическое место точек
, абсциссы
которых равны одному и тому же числу
. На рис. 13 изображена такая прямая при
.

Рис.13
Из сказанного следует, что уравнение (2), где
,
,
- заданные числа и при этом
и
одновременно не равны нулю, есть уравнение некоторой прямой. При
эта прямая не параллельна оси
. В частности, при
она параллельна оси
. В случае же, если
, то она параллельна оси
. Отметим, что ось
имеет, очевидно, уравнение
, а ось
имеет уравнение
.
Уравнение (2) называется уравнением прямой в общем виде. Любая прямая, как угодно расположенная по отношению к системе координат, может быть описана уравнением вида (2) при подходящих постоянных числах
,
,
. Подчеркнем, что числа
и
в уравнении (2) прямой одновременно не равны нулю. Отметим, что число
в уравнении (1) называют угловым коэффициентом прямой.
Решим несколько важных задач.
Задача 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным числу
, проходящей через заданную точку
.
Решение. Прямая с угловым коэффициентом
имеет вид
, (3)
где
может быть любым числом. Так как точка
должна находиться на данной прямой, то должно выполняться равенство
. (4)
Вычитая (4) из (3), получим искомое уравнение
(5)
прямой, проходящей через точку
с угловым коэффициентом
.
Задача 2. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные две точки
и
. Предполагается, что эти точки разные.
Решение. Пусть
. Тогда, очевидно, искомая прямая не параллельна оси
и потому может быть записана в виде
, (6)
где
— некоторое число. Уравнение (6) уже выражает, что прямая проходит через точку
. Чтобы она проходила также через точку
, надо чтобы выполнялось равенство
. (7)
Деля (6) на (7) (т. е. деля левую часть (6) на левую часть (7), а правую часть (6) на правую часть (7)), получим
. (8)
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки
и
.
Замечание 1. Могло случиться, что
, тогда формально мы получили бы равенство

.
Несмотря на бессмысленность этого равенства, так пишут - считают удобным. Если освободиться от знаменателей, то получим верное равенство

или
. (9)
Случай
приводит к решению
.
Задача 3. Найти угол
между прямыми
,
.
Решение. Имеем
,
, где
,
- соответственно углы, образованные данными прямыми с положительным направлением оси
. Имеем (рис. 14)
, (10)
и мы получили формулу угла между прямыми.

Рис. 14
Случай
или

выражает условие перпендикулярности прямых. Условие параллельности прямых
, запишется так
. (12)
Зададим уравнение прямой в общем виде:
(2)
При
,
,
уравнение (2) можно записать в форме
. (13)
Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках. Эта прямая пересекает ось
(прямую
) в точке
и ось
в точке
.
Если прямая, удовлетворяющая уравнению (2), проходит через точку
, то
. (14)
Вычитая (14) из (2), получим
. (15)
Уравнение (15) называется уравнением прямой, проходящей через точку
.
Если ввести в рассмотрение векторы
,
,
, то левую часть (15) можно рассматривать как скалярное произведение вектора
на вектор
. Поэтому уравнение (15) в векторной форме имеет вид
. (15')
Вектор
принадлежит прямой
(рис. 15). Таким образом, из (15') видно, что вектор
ортогонален (перпендикулярен) данной прямой, и тем самым мы выяснили геометрический смысл коэффициентов
и
.

Рис. 15 Рис.16
Рассмотрим две прямые
, (16)
. (17)
Так как векторы
и
перпендикулярны к прямым (16) и (17) соответственно, то угол
между прямыми (16) и (17) равен углу между векторами
и
(рис. 16). Угол
можно вычислить по формуле
. (18)
Замечание 2. Если
- угол между прямыми, то
также является углом между этими прямыми. Число (18) может быть положительным и отрицательным. Одно из них соответствует углу
, а другое - углу
.
Из (18) получаем условие перпендикулярности
и
:
. (19)
Если прямые
и
параллельны, то векторы
и
коллинеарны и
, где
- некоторое действительное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством
. (20)

Рис.17
Пусть дана произвольная прямая
в прямоугольной системе координат (рис. 17), не проходящая через начало координат, и пусть
— вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой
с концом, лежащим на прямой. Вектор
полностью определяет прямую
(через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему). Пусть
есть длина
,
есть единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и
. Здесь
,
- углы между
(или
) и соответственно с положительным направлением оси
и оси
;
. Обозначим через
радиус-вектор произвольной (текущей) точки прямой
. Проекция вектора
на единичный вектор
, очевидно, равна
, т. е. скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки
прямой
на вектор
равно
:
. (21)
Итак, мы получили векторное уравнение
, потому что, и обратно, если радиус-вектор точки удовлетворяет уравнению (21), то точка лежит на
(точка, не лежащая на
, имеет проекцию на
, отличную от
).
Если прямая
проходит через начало координат, то ее уравнение можно записать тоже в виде (21), где
- единичный перпендикулярный к ней вектор и
.
В координатной форме уравнение (21) имеет вид
(21')
или
. (21")
Уравнение (21') (или (21")) называется уравнением прямой в нормальном виде.
Если прямая
задана общим уравнением
,
то его можно привести к нормальному виду, умножив на число
, (22)
где надо выбрать знак, противоположный знаку
(
). Число
называется нормирующим множителем. Так как
,
то существует и притом единственный угол
, удовлетворяющий неравенствам
, для которого
,
. (23)
В результате мы получаем уравнение (21), где
. Отметим еще раз, что число
равно расстоянию от начала координат до прямой.
Задача 4. Найти расстояние
от точки до прямой
, определяемой уравнением
. (24)
Решение. Пусть
(25)
есть нормальное уравнение прямой (24). Таким образом, если
, то
есть длина вектора
, опущенного из начала координат
на
(перпендикулярно к
), а
- единичный вектор, направленный как
(
,
(рис. 18)). Пусть
есть радиус-вектор произвольной точки
. Тогда, очевидно, чтобы найти расстояние от точки
, имеющей радиус-вектор
до
, надо спроектировать вектор
на направление вектора
и взять абсолютную величину проекции:

Мы получили формулу
. (26)
Таким образом, чтобы получить расстояние
, надо привести уравнение (24) к нормальному виду, перенести
в левую часть, подставить в левую часть вместо
,
соответствующие координаты
,
точки
и взять абсолютную величину полученного выражения.


Рис. 18 Рис. 19
На языке коэффициентов
,
,
равенство (26) выглядит так:
. (26')
При
формула (26), а следовательно и (26'), остается тоже верной. В этом случае
,
- один из двух единичных векторов, перпендикулярных к
(рис. 19). Теперь

или
,
т.е. формула (26') верна при
.
Замечание 3. Из рис. 18 видно, что: а) если начало
и точка
находятся по одну сторону от
, то угол между
и
острый и
; б) если же
и
находятся по разные стороны от
, то угол между
и
тупой и
.
Задача 5. Найти расстояние от точки (1, 1) до прямой
.