9.2. Уравнение плоскости в общем виде.
Если уравнение (1') умножить на какое-либо не равное нулю число, то получим эквивалентное ему уравнение в виде
, (2)
определяющее ту же плоскость. Здесь числа
,
,
не равны нулю одновременно. Уравнение (2), где числа
,
,
не все равны нулю, называется уравнением плоскости в общем виде.
Произвольное уравнение вида (2), где числа
,
,
одновременно не равны нулю, можно привести к нормальному виду, умножив его на число
,
где знак берется противоположным знаку числа
. Тогда число
будет неотрицательным, а уравнение (2) преобразуется в следующее, ему эквивалентное,
. (3)
Здесь
.
Это показывает, что вектор

единичный (
). Его проекции на оси координат равны
,
,
,
где
,
,
- углы, образованные вектором
соответственно с положительными направлениями осей
,
,
. В силу введенных обозначений уравнение (3) имеет вид
, (3’)
т. е. мы получили уравнение плоскости (2) в нормальном виде.
Если задано уравнение плоскости в общем виде (2) и надо узнать ее расположение относительно системы координат, то достаточно уравнение (2) привести к нормальному виду, умножив его на нормирующий множитель
.
Из самого же уравнения (2) без каких-либо вычислений можно заключить только следующие два факта: 1) если
, то плоскость проходит через начало координат, а если
, то она не проходит через начало координат; 2) вектор
перпендикулярен плоскости, ведь он коллинеарен единичному вектору
, перпендикулярному к данной плоскости.
Уравнение
(4)
есть частный случай уравнения (2). В плоскости
уравнение (4) определяет прямую, а в пространстве
оно есть уравнение плоскости
, перпендикулярной к координатной плоскости
и проходящей через эту прямую. Какова бы ни была точка
, принадлежащая к плоскости
, ее координаты
,
удовлетворяют уравнению (4) независимо от того, какую она имеет третью координату
. Уравнение
(5)
есть частный случай уравнения (4). Его можно записать в виде
. (5')
Уравнение (5') в пространстве
есть геометрическое место точек
, имеющих первую координату, равную числу
. Координаты же
,
могут быть любыми. Ясно, что (5') определяет плоскость, параллельную координатной плоскости
(или перпендикулярную оси
).