12.2. Геометрический смысл определителя второго порядка.
Рассмотрим теперь специально два ненулевых плоских вектора
,
(3)
в некоторой прямоугольной системе координат
,
(рис. 30, 31). Будем считать, что рассматриваемая плоскость находится в пространстве и добавим к осям
,
перпендикулярную к ним ось
. Векторы
,
будут теперь иметь координаты
.

Рис. 30 Рис. 31
Векторное произведение их равно
, (4)
где
- орт оси
. По определению векторного произведения система
ориентирована, как система координат
,
,
. Поэтому, очевидно, если определитель
,
то система векторов
должна быть ориентирована, как оси координат
. Если же определитель
,
то система
ориентирована противоположно ориентации
,
. На рис. 30 изображена первая ситуация расположения векторов
, а на рис. 31 - вторая. Мы знаем также, что площадь параллелограмма, построенного на векторах
и
, равна (см. (4))
,
т. е. абсолютной величине определителя
. (5)
Итак, мы доказали, что: 1) абсолютная величина определителя (5) равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
; 2) знак определителя (5) зависит от расположения этих векторов относительно прямоугольной системы координат
,
. Знаку + соответствует система
, ориентированная, как
,
, а знаку - соответствует системе
, ориентированной противоположным образом.