12.3. Свойства векторного произведения.
Справедливы свойства
, (6)
, (7)
, (8)
где
,
,
- произвольные векторы,
- скаляр.
Если векторные произведения, входящие в равенства (6), (7), (8), выразить по формуле (1) через компоненты векторов
,
,
,
то легко получить эти равенства.
Формулы (6) и (7) легко следуют также из геометрических соображений. Пусть
и
- неколлинеарные векторы. Если в векторном произведении заменить местами
и
, то площадь параллелограмма, построенного на
и
, и перпендикуляр к
и
не изменятся. Изменится лишь направление
на противоположное, что влечет изменение ориентации
.
Умножение на положительное число
вектора
увеличивает лишь в
раз площадь параллелограмма, построенного на
и
, а направление векторного произведения останется прежним. Если же
, то
.
Заметим еще, что из (6) и (7) следует также, что
.
Пример 1. Определить угол
треугольника
с вершинами
,
,
. Обозначим искомый угол через
. Таким образом,
это угол между векторами
и
. Из второго определения векторного произведения имеем
,
где
,
,
,
,
.
Отсюда
.
Так как
и
, то необходимо взять
.
Замечание. Если в треугольнике АВС угол
прямой, то
=
; если
- тупой угол, то
; если
- острый угол, то
.
Пример 2 (из механики). Пусть заданы две точки
и
. К точке
приложена сила, определенная вектором
. Пусть
. Моментом силы
относительно точки
называется векторное произведение вектора
на вектор
:

(см. рис. 32,
).
Вектор
(момент силы
) перпендикулярен к векторам
и
и имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах
и
. Направление же вектора
зависит от той прямоугольной системы координат, которая задана в этом вопросе.
На рис. 32 взята левая система координат. Направление
взято так, чтобы векторы
,
,
тоже образовали левую систему.

Рис. 32