§ 13. Смешанное (векторно-скалярное) произведение
Векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов
,
,
(в трехмерном действительном пространстве) называется скаляр, равный скалярному произведению вектора
на вектор
:
. (1)
В силу определения скалярного произведения
.
Поэтому можно еще, очевидно, сказать, что смешанное произведение
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
со знаком
или
в зависимости от того, будет ли система векторов
,
,
ориентирована как система координат
,
,
или противоположным образом. Отметим, что
равна высоте параллелепипеда.
Имеют место равенства
, (2)
которые легко следуют из свойств определителя (1).
Если векторы
,
,
, лежат в одной плоскости, то
,
так как
перпендикулярен вектору с. Обратно, если
, то вектор
перпендикулярен вектору
и, следовательно, лежит в плоскости векторов
и
или в плоскости, параллельной этой плоскости.
Таким образом, условие

есть необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов
,
,
.
Пример 1. Найти условие принадлежности четырех точек к одной плоскости.
Пусть даны четыре точки
. Если эти точки лежат в одной плоскости, то векторы
,
,
также лежат в этой плоскости, и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:
.
Это и есть условие принадлежности четырех точек одной плоскости (ср. §9, (12)).