§ 15. Линейные операторы
Зададим произвольную квадратную матрицу
. (1)
Матрицу
можно рассматривать как оператор, приводящий в соответствие каждому вектору
вектор
, компоненты которого вычисляются по формулам
(2)
или, короче,
. (2')
Говорят, что
-я координата вектора
записывается с помощью
-й строки
. Этот оператор коротко будем записывать так:
(2'')
Замечание 1. Если
и далее
-комплексные числа, то
надо считать комплексным пространством. Если же
,
- действительные числа, то
может быть и действительным и комплексным пространством.
В случае одномерного пространства
векторы
и
суть числа, и оператор (2") превращается в функцию
.
Оператор (2") линейный. Это значит, что он удовлетворяет условию

для любых векторов
,
и чисел
,
. В самом деле,
.
Если матрицы
и
равны, т. е. имеют равные соответствующие элементы
, то они определяют тождественно равные операторы:
. (3)
Обратно, из равенства (3) вытекает, что
,
т. е. равенство матриц
и
. В этом легко убедиться, если положить в (3)
,
где 1 стоит на
-м месте
.
Таким образом, различным матрицам
соответствуют различные операторы - если две матрицы
, и
отличаются хотя бы одним элементом, то обязательно существует вектор
, для которого
.
Пусть, кроме
, задан еще другой оператор
, определяемый квадратной матрицей
-го порядка
.
Каждому
соответствует при помощи оператора
вектор
, которому при помощи оператора
соответствует вектор
с компонентами, вычисляемыми по формулам
.
В результате получим сложный линейный оператор
(4)
где

с матрицей
, называемой произведением матриц
и
и обозначаемой так:
, (5)
где
, (6)
т.е. чтобы получить элемент
матрицы
(принадлежащий к ее
-й строке и
-му столбцу), надо элементы
-й строки матрицы
умножить на соответствующие элементы
-того столбца матрицы
и результат сложить.
Определитель матрицы
равен произведению определителей матриц
и
:
(7)
Это свойство вытекает из формулы для произведения определителей (см. § 2, свойство к)).
Пусть матрица оператора
(см. (1)) имеет определитель, не равный нулю:
.
В этом случае (см. § 4, теорема 1) система уравнений (2), или, что все равно, операторное уравнение
имеет единственное решение
при любом заданном
. При этом формулы, по которым находится
для заданного
, имеют вид
. (8)
Здесь
(9)
(см. § 4, (З')), где
- алгебраическое дополнение элемента
в определителе
.
Впрочем, для нас сейчас важно только отметить, что числа
, являются элементами матрицы
,
обладающей следующими замечательными свойствами:
, (10)
. (11)
В самом деле, произвольный вектор
переходит посредством оператора
в некоторый вектор
, который переходит посредством оператора
обратно в
. С другой стороны, каждому
соответствует при помощи оператора
(см. (8)) некоторый
и притом такой, что
.
В равенстве (11) можно, очевидно, вместо
поставить другую букву, поэтому мы получили тождества
.
Оператор
называется единичным оператором. Матрица, ему соответствующая, имеет вид

и называется единичной. Мы доказали, что
.
Оператор
, обладающий этим свойством, называется обратным к оператору
и обозначается через
. Соответственно его матрица называется обратной матрицей к матрице
и обозначается тоже через
. Элементы матрицы
находятся по элементам матрицы
с помощью формул (9).
Мы доказали, что если определитель
квадратной матрицы
не равен нулю, то она имеет обратную матрицу
. Для
, таким образом, выполняются свойства
.
Если определитель матрицы
равен нулю
, то она не имеет обратной матрицы. Достаточно сказать, что уравнение
имеет решение не для всякого
. Между тем свойство
, если оно выполняется, утверждает, что каждому
соответствует (при помощи оператора
) такой
, что он есть решение уравнения
.
Замечание. Операцию умножения матриц можно распространить и на неквадратные матрицы
и
, лишь бы число столбцов матрицы
совпадало с числом строк матрицы
. Тогда умножение матриц производим по формулам, подобным (6). Например, если
,
, то
.
Произведение
в данном случае рассматривать нельзя, так как у матрицы
два столбца, а у матрицы
три строки.
Для квадратных матриц
и
произведения
и
имеют смысл, но далеко не всегда
равно
. Например, если
,
,
то
,
,
т.е.
.
Легко проверить, что
.
Если
-линейный оператор, то запись
можно рассматривать как произведение матрицы
на одностолбцовую матрицу
.
Пусть заданы линейные операторы
и
. Суммой их называется оператор
, определяемый равенством
.
Очевидно, матрица оператора
совпадает с матрицей, равной сумме матриц операторов
и
.
Легко проверить, что

.
Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице
.
Матрица
определяет линейный оператор
, приводящий в соответствие каждому вектору
вектор
при помощи равенств
,
,
,
Эти равенства можно рассматривать также как линейную систему трех уравнений относительно неизвестных
. Определитель этой системы не равен пулю. Но тогда ее можно решить при любых заданных
. В результате получим равенства
,
,
,
определяющие оператор
, обратный к оператору
. Матрица этого оператора
.
Это и есть матрица, обратная к матрице
.
Элементы матрицы
можно получить путем вычислений по формулам (9). Обозначим элементы обратной матрицы
через
. Имеем
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Итак,

.
Пример 2. Вычислить произведение матриц
, где
,
.
Вычисление можно произвести по формулам (5), (6), но можно рассуждать и следующим образом.
Матрица
определяет оператор
, приводящий в соответствие векторам
векторы
при помощи равенств
,
,
,
Матрица же
определяет оператор
, приводящий в соответствие векторам
векторы
при помощи равенств
,
,
.
Но тогда оператор

определяется равенствами
,
,
.
Следовательно, произведение
матриц
и
есть матрица
.