§ 16. Базисы в Rn
В пространстве
(действительном или комплексном) введем
векторов:
(1)
называемых ортами осей пространства
.
Осью
пространств
называется множество точек вида
, где
стоит на
-м месте и пробегает все действительные (комплексные) значения, а вектор
называется ортом оси
.
Если
есть произвольный вектор (действительный в действительном
или комплексный в комплексном
), то его можно, очевидно, записать в виде линейной комбинации из векторов (1) следующим образом:
. (2)
Так как из равенства
следует, что
, то система
линейно независима.
Зададим произвольную систему из
линейно независимых векторов
(3)
Как мы знаем (см. § 14, теорема 1), система (3) линейно независима, если определитель
. (4)
Если же
, то система (3) линейно зависима.
Согласно теореме 1 § 14 любые
векторов в пространстве
линейно зависимы, так как ранг матрицы из компонент этих векторов не превышает
. Поэтому, если
произвольный вектор и система векторов (3) линейно независима
, то система векторов
линейно зависима, т. е. существуют числа
, одновременно не равные нулю, такие, что
,
где
(иначе система (3) была бы линейно зависимой). Отсюда
, (5)
где
. Выразим сумму (5) через орты
(см.(2)):
.
С другой стороны, по (2)
.
В силу линейной независимости системы
коэффициенты при одинаковых векторах
должны быть равны
. (6)
Таким образом, если компоненты
вектора
по системе
известны, то компоненты
этого вектора по системе
находятся из (6) и притом единственным образом, так как определитель системы (6) есть
.
Мы доказали, что, какова бы ни была линейно независимая система векторов
, любой вектор
, можно разложить по этой системе, т. е. представить в виде суммы (5), где
- некоторые числа, определяемые из (6) и притом единственным образом.
В этом смысле систему векторов
называют базисом в
, желая этим сказать, что любой вектор
можно представить в виде линейной комбинации (5) из этих векторов и притом единственным образом. Мы доказали, что произвольная линейно независимая система из
векторов в
есть базис в
.
Линейно независимая система из
векторов
,
где
, не есть базис в
. В самом деле, ранг матрицы компонент этих векторов равен
. Будем считать, что первые
столбцов этой матрицы образуют определитель, не равный нулю. Расширим эту матрицу, приписав к ней внизу строку
,
где 1 стоит на
-м месте. Расширенная матрица имеет ранг
, и, следовательно, система векторов
линейно независима. Но тогда вектор
не может быть линейной комбинацией из векторов системы
, и эта система не есть базис в
. Обозначим через

матрицу векторов
.
Переход от базиса
к базису
осуществляется при помощи матрицы
:
, (7)
т. е. вектор
выражается через векторы
с помощью
-й строки матрицы
. Обратный переход от
к
происходит при помощи обратной матрицы
(см. § 15, (9))
, (8)
элементы которой вычисляются по формулам
, где
адъюнкт элемента
в определителе
(обратим внимание, что элемент
принадлежащий
-й строке и
-му столбцу, выражается через адъюнкт
элемента
, принадлежащего
-й строке и
-му столбцу). Отметин еще, что
,
откуда
(9)
т.е. переход от координат
к
происходит при помощи матрицы (см. §3)
.
Из (9) видно, что
выражается через
с помощью
-го столбца матрицы
или
-й строки матрицы
, транспонированной к
.
Далее по формуле (6)

видно, что переход от
к
совершается при помощи матрицы
транспонированной к
, т. е.
, выражается через
с помощью
-й строки матрицы
или
-го столбца матрицы
.
Замечание. В § 15 было установлено, что произвольная квадратная матрица
(10)
Определяет линейный оператор
, задаваемый по формулам
. (11)
Но имеет место и обратное утверждение: каков бы ни был линейный оператор
, он определяется некоторой матрицей (10) так, что вектор
вычисляется по вектору
по формулам (11).
В самом деле, пусть задан произвольный линейный оператор
. Обозначим образы ортов
при его помощи следующим образом:
.
Тогда в силу линейности
любой вектор

отображается при помощи
в вектор
, определяемый равенствами
,
откуда следует, что
-я компонента
определяется по формуле (11). Таким образом, оператор
порождает матрицу (10), у которой в столбцах стоят координаты образов базисных векторов (ортов) при помощи оператора
.
Пример 1. Найти матрицу линейного оператора (преобразования)
, заключающегося в повороте векторов плоскости
, выходящих из начала, на угол
против часовой стрелки.
Возьмем за базис векторы
,
. Тогда, очевидно, что (рис. 34)
,
.

Рис. 34
Поэтому матрица нашего оператора имеет вид
.