§ 17. Ортогональные базисы в Rn
Говорят, что два ненулевых вектора
,
, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число
такое, что
.
Произвольный ненулевой вектор
можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор
,
имеющий то же направление, что и вектор
.
Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.
Два вектора
и
в пространстве
называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:
.
Здесь
может быть действительным или комплексным. В случае комплексного
скалярное произведение определяется, как в § 6, (5').
Система векторов
(1)
называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если
,
т. е. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонормированная система (1) линейно независима. В самом деле, пусть
,
где
- числа. Умножив это равенство скалярно на
, получим, очевидно,
.
Но тогда ортонормированная система из
векторов в
есть базис и, следовательно, каждый вектор
можно представить в виде линейной комбинации
. (2)
Умножая это равенство скалярно на
. получим

и, следовательно,
.
Число
называется проекцией вектора
на направление вектора
.
В реальном действительном пространстве
величина
есть обычная числовая проекция вектора
на направление вектора
.
Теорема 1. Ортонормированную систему векторов


можно пополнить до ортонормированного базиса в
. Иначе говоря, можно указать векторы
такие, что система
(3)
будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в
.
Доказательство. Так как
, то в
существует вектор
, не зависящий линейно от
. Но тогда
,
где
. Вектор
ортогонален ко всем векторам
. В самом деле,
. (4)
Пронумеровав
, получим вектор
,
и система

будет ортонормированна. Если
, то мы получили базис в
. Если нет, то этот процесс продолжаем. На
-м этапе получим базис (3) в
.
Система ортов осей в 

,
,
может служить примером ортонормированного базиса в
. Произвольный вектор
разлагается по ортам следующим образом:
, (5)
где
- проекция вектора
на направление орта
.
Пусть задана некоторая определенная ортонормированная система из
векторов
(6)
или
. (7)
Переход от векторов
к
здесь осуществляется при помощи матрицы
, (8)
т. е. вектор
выражается через
с помощью
-й строки матрицы
.
В дальнейшем мы считаем пространство
и матрицу
действительными (см. далее замечание 1).
Матрица
ортогональна, т. е. обладает следующим свойством
. (9)
В самом деле, так как в данном случае система
ортонормирована, то
. (10)
Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов
, определенных по формулам (7).
Это показывает, что формулы (7), где
- произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортонормированные базисы в
.
Помножим вектор
на вектор
скалярно:
. (11)
Отсюда
. (12)
Таким образом, переход от базиса
к базису
осуществляется при помощи матрицы
, транспонированной к
. Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно доказали, что ортогональная матрица
обладает следующим замечательным свойством (в действительном
):
. (13)
Из (12) следует
, (14)
Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны.
Переход от
к
совершается при помощи матрицы, так как (считая, что
) (см.(11))
. (15)
Переход же от
к
совершается при помощи (см. (13)) матрицы
транспонированной к
, т. е.
.
Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы
(см. (6)) по абсолютной величине равен 1:
.
Это следует из того, что
.
Здесь мы считаем, что элемент
произведения определителей равен сумме произведений элементов
-й строки на соответствующие элементы
-й строки (см. § 2, свойство к)). Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса
равен 1:


Если ортогональный базис
имеет определитель
(см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис
. Если же
, то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в § 11 и в § 12.
Замечание 1. В комплексном пространстве
матрица (8), где
комплексные, называется ортогональной, если
. (9')
Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном
порождает ортогональную матрицу
(см. (8)). В самом деле, в комплексном
скалярное произведение векторов
подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))
,
где
- комплексные числа. Поэтому
.
Но тогда для ортонормированной системы векторов
имеет место
, (10')
т. е. матрица
ортогональна. Мы видим, что и, обратно, ортогональность
влечет ортонормированность векторов
, определенных по формулам (7).
Помножим вектор
на
скалярно (см. (7)):
.
Отсюда
. (12')
Таким образом, переход от базиса
к базису
осуществляется при помощи матрицы

Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица
обладает следующим свойством (в комплексном
):
. (16)
Из (12') следует
.
Следовательно, равенства

(так же, как (9')) могут служить определением ортогональной матрицы
.
На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:
(см.(7));
(см.(12'));
(см.(6) §16);
(см.(16)),
где
и
- координаты произвольного вектора в комплексном пространстве
относительно базиса
и ортонормированного базиса
.
Наконец, равенство
в комплексном случае доказывается так:
.
Ортогональные матрицы называют еще унитарными.