§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскостиРассмотрим плоскость
- орты осей Произвольный единичный (нормальный) вектор
Единичный ортогональный (перпендикулярный) к
то всевозможные ортонормированные системы
соответствующими вращению осей около начала на угол
соответствующими вращению осей около начала на угол Оба преобразования объединяются в следующей формуле:
Рис. 35 Рис.36 где матрица преобразования
ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0). Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что
и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей
сопряженной к Зададим в плоскости произвольный вектор (точку)
В силу формул (3) и (4)
Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах
В силу же формул (1) и (4)
откуда, приравнивая компоненты при
Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей
Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат ортогональная. Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид
и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид
(матрицы коэффициентов при
|