§ 20. Линейные подпространства в Rn
Множество
в
(
) называется линейным подпространством пространства
или, короче, подпространством в
, если из того, что два каких-либо вектора
и
принадлежат к
(
), автоматически следует, что вектор
тоже принадлежит к
(
), где
,
- числа. Подпространство
называется m-мерным, если в нем имеется линейно независимая система
, состоящая из m векторов, и нет системы, состоящей из
линейно независимых векторов.
Таким образом, если
- произвольный вектор в
(
), то система
, а линейно зависима, т.е. существует нетривиальная система чисел
такая, что
. (1)
Здесь
, иначе было бы
,
и вследствие линейной независимости системы
было бы
и вся система
была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно
:
, (2)
т.е. представить в виде линейной комбинации из векторов
. С другой стороны, линейная комбинация вида (2) принадлежит к
, потому что
- подпространство. В этом смысле говорят, что система
есть базис в
. Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов
, принадлежащих к
, есть базис в
.
Если разложить векторы
по векторам
, то получим
.
По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для
(где теперь надо заменить
и
соответственно на
,
), можно получить, что система
линейно независима тогда и только тогда, когда определитель
, и что любая независимая система, состоящая из
векторов, уже не может быть базисом в
.
Пространство
можно рассматривать как подпространство
, имеющее
измерений.
Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство (
). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы - из равенства
, где
- число, не обязательно следует, что
есть нуль.
Если вектор
, то множество векторов вида
, где
- произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор
.
Пусть
есть линейное подпространство в
. Будем говорить, что вектор
ортогонален к
, если он ортогонален к любому вектору
. Обозначим через
множество всех векторов, ортогональных к
.
есть подпространство. В самом деле, пусть
, т. е.

Тогда для любых чисел
,

т.е.
.
По определению подпространство
называется ортогональным к данному подпространству
, если
есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к
.
Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства
и ему ортогонального подпространства
. В частности, из нее следует, что если
ортогонально к
, то и, обратно,
ортогонально к
.
Теорема 1. Пусть
есть линейное подпространство, отличное от
и нулевого подпространства. Тогда:
а) существует целое число
, удовлетворяющее неравенствам
, (3)
и ортонормированный базис
(4)
в
; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в
:
, (5)
то линейное подпространство
с базисом
(6)
обладает следующими свойствами:
б)
есть подпространство, ортогональное к 
в)
есть подпространство, ортогональное к
;
г) любой вектор
можно представить в виде суммы
,
где
,
и при этом единственным образом.
Доказательство. По условию
отлично от нулевого подпространства, следовательно, в
существует вектор
, отличный от 0. Нормируя
, получим нормальный вектор
.
Обозначим через
любой, принадлежащий к
нормальный вектор, ортогональный к
, если такой существует. Далее, обозначим через
принадлежащий к
нормальный вектор, ортогональный к
и 
, если такой существует. Этот процесс закончится на некотором
-м этапе, где
удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонормированная система векторов (4), принадлежащих к
, но уже не будет в
единичного вектора, ортогонального к векторам
. В самом деле,
, потому что заведомо
. С другой стороны,
не может быть равным
. В противном случае векторы
принадлежали бы к
и вместе с ними принадлежали бы к подпространству
все линейные комбинации
, и тогда получилось бы, что
совпадает с
, но
отлично от
. Полученная ортонормированная система
есть
базис в
. В самом деде, вместе с векторами
принадлежат к
, и все их линейные комбинации
. Но больше в
других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор
не есть такая линейная комбинация, то
можно было бы записать в виде суммы
, (7)
где
. Так как векторы
и
принадлежат к подпространству
, то пришлось бы заключить, что вектор

тоже принадлежит к
. Но вектор
ортогонален ко всем
(см. § 17, (4)). Пронормированный вектор
(8)
тоже принадлежал бы к
и был бы ортогональным ко всем
. Но это невозможно в силу максимального свойства числа
. Этим доказано утверждение а) теоремы.
Дополнение ортонормированной системы (4) до ортонормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через
подпространство всех линейных комбинаций
из векторов системы (6). Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору
, который представляется в виде суммы
. С другой стороны, если
, есть произвольный вектор, ортогональный ко всем векторам
, в частности к
, то его разложение по базису (5) имеет вид
,
т.е.
. Мы доказали утверждение б) теоремы.
Далее, любой вектор
ортогонален ко всем векторам
и, если известно, что какой-либо вектор
ортогонален ко всем векторам из
, в частности к
, то
, т. е.
. Мы доказали утверждение в).
Наконец, если
- произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы
,
где
.
Этим теорема 1 доказана полностью.
Теорема 2. Пусть
есть подпространство
измерений в
. Тогда подпространство
, ортогональное к
, имеет
измерений и при этом
есть в свою очередь подпространство, ортогональное к
.
Доказательство. Если
отлично от
и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.
Пусть
есть нулевое подпространство. Так как любой вектор
ортогонален к 0, то
и измерение
равно
. Обратно, вектор 0 ортогонален ко всем векторам
. Других векторов, ортогональных ко всем векторам
, нет, потому что всякий отличный от 0 вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что
ортогонально к
.
Если
, то рассуждаем подобным образом.
Следствие 1. Пусть задача система векторов
, (9)
и пусть
есть подпространство векторов
, каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:
.
Пусть, далее, дан вектор
, ортогональный ко всем указанным векторам
, т. е. ортогональный к подпространству
. Тогда
есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)
.
Доказательство. Рассмотрим подпространство
, состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор
есть некоторая линейная комбинация
.
В этом случае будем также говорить, что подпространство
натянуто на векторы системы (9).
Так как всякий вектор
ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору
. Это показывает, что подпространство
ортогонально к подпространству
. Но тогда по теореме 2 и
ортогонально к
, т. е.
состоит из всех векторов
, ортогональных к
. По условию
есть один из таких векторов
, следовательно,
есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).