§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве
При
квадратичная форма имеет вид
, (1)
так как
(мы считаем
действительными).
Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора
в некотором базисе
, надо (см. § 22) найти базисные орты
,
— собственные векторы самосопряженного оператора
, порожденного симметрической матрицей
.
Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора
, отличный от метода § 22.
Итак, если
— собственное число оператора
и
- соответствующий ему собственный вектор, то
.
Перепишем это уравнение в координатной форме:
(2)
или в операторной форме:
, (2')
где
- тождественный оператор.
Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение
, что может быть, если определитель системы (2) или (2') равен нулю:

Итак, собственное число
является корнем уравнения
, (3)
которое называется характеристическим уравнением оператора
(или квадратичной формы
).
Верно и обратное утверждение. Если
является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы
(4)
будет собственным вектором самосопряженного оператора
.
Следовательно, собственные числа оператора
находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):

Решая это уравнение, получаем
(5)
Отсюда видно, что
, при этом
в случае
,
. Будем для определенности считать, что
(иначе меняем
на
и
на
). Тогда
.
Из (5) следует, что собственные значения оператора
(самосопряженного) — действительные числа.
Теперь по известным собственным числам
и
найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как
, то
ранг
.
Если
, то в этом случае матрица
состоит на одних нулей
, т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов
. Системе (4) удовлетворяет любой вектор
. Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат
. Любая другая система
ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.
Теперь, если
, то либо
, либо
,
. Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть
. Тогда
ранг
.
Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):
.
Отсюда имеем 
.
Вектор

является решением системы (4). Нормируя этот вектор, получим собственный вектор
.
Проводя элементарные преобразования, можно получить равенства
(6)
В дальнейшем достаточно брать в формулах (6) знак +. Совершенно аналогично по собственному числу
найдем собственный вектор
. Оказывается, что
.
Составим теперь матрицу оператора (ортогонального преобразования)
, переводящего орты
в орты
:

(в строках стоят координаты образов базисных ортов
и
при помощи
, т. е.
). Тогда координаты вектора
в системе
связаны с координатами
этого вектора в системе
с помощью столбцов матрицы
:
(7)
Подставляя эти значения в квадратичную форму (1) и учитывая формулы (5) и (6), получим
. (8)
Правая часть этого равенства называется каноническим видом квадратичной формы.
Если числа
и
одного знака, то будем говорить, что квадратичная форма принадлежит эллиптическому типу; если
и
разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел
или
равно нулю, то параболическому типу.
Из (5) видно, что
. Поэтому тип формы (1) можно определить по знаку выражения
.
Квадратичная форма будет эллиптической, гиперболической или параболической, если выражение
соответственно больше, меньше или равно нулю.
Пример 1. Привести к каноническому виду форму
.
В данном случае
,
,
. Так как
, то форма будет эллиптической. Найдем собственные векторы и их собственные значения по формулам (5), (6):
.
Далее,
.
В системе
наша квадратичная форма имеет вид
.
Так как
, то преобразование с помощью матрицы

означает поворот системы
на угол
около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).