§ 24. Кривая второго порядка

24.1. Общее уравнение кривой второго порядка.

В плоскости, в некоторой прямоугольной системе координат , , пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени

,                                                         (1)

где  - заданные действительные числа. При этом числа  одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек  с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение

может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.

24.2 Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка.

Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):

1) Уравнение эллипса

с полуосями длины  и . В частности, при  уравнение окружности

с центром в начале координат и радиусом .

2) Уравнение гиперболы

с полуосями  и .

3) Уравнение параболы

4) Уравнение пары пересекающихся прямых

.

5) Уравнение  пары параллельных или совпадающих прямых

.

6) Уравнение, определяющее точку,

.

Остановимся вкратце на перечисленных кривых.